הוכחה של טענה לגבי אינטגרלים מוכללים

[מנוי]

אני מנסה לחשוב על הוכחת הטענה ש:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clim_%7Ba%20%5Cto%202%5E%7B+%7D%7D%5Cint_%7Ba-2%7D%5E%7B1%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bt%7Ddt=%5Clim_%7Ba%5Cto%200%5E+%7D%5Cint_%7Ba%7D%5E%7B1%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bt%7Ddt

 

ניסיתי להוכיח את זה לפי משפטים כללים על  גבולות של פונקציות, אבל שום דבר לא תופס.

האופציה היחידה שחשבתי על הוכחה זה דרך ההגדרה של האינטגרל דרך סכומי סכומי רימן.

שברור שאז אם הסכום קיים אז הוא שווה בין 2 האינטגרלים ואם הוא לא קיים, אז הוא לא שווה.

כי כביכול מדובר ב2 המקרים על אותה הנקודה...

אבל חוץ מהוכחה הישירה הזאת, יש איזשהי הוכחה דרך תכונות האינטגרלים(אולי רציפות או משהו בסיגנון).

[אסף]

לא הבנתי מה צריך הוכחה, אתה יכול לסמן k=a-2  ולראות שהביטויים זהים. זה כמו לחפש הוכחה דרך תכונות אינטגרלים שX=X. 

[מנוי]

אסף, הביטוי בצד השמאלי זה הרכבת פונקציות.

בכל מה שרשור להרבת פונקציות, צריך להיות זהירים.

למשל אפשר לקחת פונקציה כלשהי (אפילו רציפה),להרכיב בתוך בפונקציה לא רציפה כלל, פונקציה שאין לה אפילו גבול בנקודה , ולקבל פונקציה רציפה בנקודה. למשל http://www.codecogs.com/gif.latex?sin(%5Cfrac%7B1%7D%7Bx+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5Cpi%7D)%7D

אם תשאיף את הביטוי לאפס, יהיה לך גבול שהוא אפס, אך ל http://www.codecogs.com/gif.latex?sin(%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D) אין גבול באפס.

למשל 2 הביטויים שלעיל הן פונקציות של המכנה התחתון.

אפשר היה להוכיח שאם הן היו אינטגרביליות רימן, שהן גם רציפות, ואז אפשר להוכיח את הטענה שאני רוצה.

במקרה הזה הן לא רציפות ב2, או ליתר דיוק, אנחנו לא יודעים אם הן רציפות ב2 או לא.

[אסף]

אני יודע מה זה הרכבת פונקציות. זה לא הביטוי השמאלי. הביטוי השמאלי הוא בדיוק כמו הביטוי הימני רק בהחלפת משתנים כמו שכתבתי. החלפת משתנים אינה הרכבה של פונקציות. אני יכול לסמן כל נעלם באיזה אות שאני רוצה ולהגדיל או להקטין באיזה קבוע אם אני דואג לבטל את ההגדלה על ידי חיסור וכו.

[מנוי]

אשמח לשמוע דעות אחרות, מדוע הרכבת פונקציות מותרת במקרה זה.

[אודי]

כמו שאסף אמר לך, זו לא הרכבת פונקציות. זה סימון מחדש של פרמטר (גבול אינטגרציה מספרי, a'=a-2) ורישום אותו גבול בדיוק עם הפרמטר החדש.

אתה יכול לבצע את האינטגרל ולראות שבשני המקרים הוא שווה ל-

http://www.codecogs.com/gif.latex?-ln(y)

כש-y שואף ל-0+. זה אותו אינסוף בדיוק.

 

לגבי הדוגמא שלך, אם היית עושה אותה מקבילה לשאלה הנוכחית אז הגבול של

http://www.codecogs.com/gif.latex?sin(%5Cfrac%7B1%7D%7Bx+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5Cpi%7D%7D)

לא היה נלקח באפס אלא ב-

http://www.codecogs.com/gif.latex?-%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%20%5Cpi%7D

ואז היית מקבל בדיוק את אותו חוסר גבול (אם כי במקרה הזה הקבוע הובלע במשתנה הפונקציה, לא בגבול אינטרציה).