טורי טיילור-לוגיקה של גבולות

[מנוי]

בתרגול הזה:

 

 

 

בדקה 16, שניה 20

 

המתרגל עושה פיתוח טיילור  של פונקציה כלשהי.  בדרך הוא עובר דרך פיתוח טיילור  שהוא לא מוגדר בקצוות מסויימות של קטע פתוח כלשהו.

 

בסוף התרגיל הוא נשאל אם לא צריך לבדוק אם פיתוח טיילור "החדש" מתכנס בקצוות.

 

והתשובה שלו היא "שמכיוון שפיתוח טיילור הוא יחיד , ומכיוון שבדרך הוא עבר דרך פיתוח טיילור אחר שלא התכנס בקצוות, אז גם הפיתוח החדש לא יתכנס בקצוות".

 

קצת קשה לי עם ההסבר הזה.

 

איך הוא קשור ליחידות הפיתוח של טיילור?

 

אני הייתי אומר שמכיוון שמתקיים שיוויון (כי כל הזרימה בתרגיל מפיתוח טיילור עם משתנה t לפיתוח טיילור עם משתנה x היא באמצעות סימני שיוויון ) וטור טיילור עם משתנה t לא מתכנס בקצוות, אז ברור שלטור "החדש"(שזה בעצם סדרה של סכומיים חלקיים שמשאיפים אותה לגבול באינסוף) לא יהיה גבול בקצוות, כי זה בעצם 2 סדרות שוות , כלומר אותה סדרה בדיוק שעושים לה גבול באינסוף. אז אם אחת מהם לא תתכנס, אז גם השניה לא, כי זה בדיוק אותו הדבר!

 

אני לא מבין איך יחידות פיתוח טיילור(שזהו כמובן נכון), אמורה להיות קשורה לתשובה במקרה הזה. כי גם אם פיתוח טיילור לא היה יחיד, במקרה שלנו עדיין הפיתוח החדש שקיבלנו לא היה מתכנס בקצוות.

 

אשמח אם משהו יוכל לראות ולהתייחס.

[אסף]

יחידות פיתוח טור טיילור משמעותה שלפונקציה מסוימת יהיה פיתוח זהה בכל דרך שתפתח, לכן לשני הפיתוחים שנעשו יהיה אותם תכונות מכיון שהם זהים. 

(בכלל השאלה די חלשה מראש, להקשות על ניסוח של תשובה של מתרגל שלאחר רגע הוסיף תשובה שערכי הקצוות בכלל לא בתחום הגדרה)