החלפת סדר סכימה ואינטגרציה

[מנוי]

אני מצרף הוכחה מספר הקורס שבה הם מחליפים את סדר סכימה ואינגרציה כשהם באים להוכיח את סעיף 3.

 

למשהו יש מושג למה מותר להם?

הרי מדובר פה ב2 גבולות. קודם יש לעשות את הגבול של הסכימה, ואחר"כ לעשות את הגבול של סכומי רימן למציאת האינטגרל. בנוסף, מדובר פה באינסוף אברים בסכום, ככה שהמשפט  שאינטגרל של סכום של פונקציות זהו סכום האינטגרלים לא אמור לתפוס פה(כי יש אינסוף של פונקציות).

 

דף 1:

 

http://i.imgur.com/anCGuQJ.jpg

 

דף 2:

 

http://i.imgur.com/mIoRGIP.jpg

[אודי]

לא הבנתי למה המשפט לא אמור לתפוס. גם אם יש אינסוף פונקציות אפשר לחלק את האינטגרל על סכומן לאינסוף אינטגרלים ולסכום אותם.

אינטגרציה היא פעולה ליניארית וזה לא תלוי במספר האיברים בסכום.

אם קטע האינטגרציה היה אינסופי זה היה עניין אחר, כי שם באמת יש לקיחת גבול. פה יש לך אינסוף פונקציות שאתה יכול לעשות עליהן אינטגרציה לפני או אחרי שאתה מחבר אותן. אבל הן יישארו אינסוף לפני או אחרי. בשום שלב לא היה לך מספר פונקציות סופי שהשאפת אותו לאינסוף.

נערך בתאריך אוגוסט 6, 2013 - על-ידי אודי

[מנוי]

המרצה אמר ששינוי סדר סכימה ואינטגרציה זה למעשה שינוי סדר של גבולות, ולשנות סדר של גבולות( כי גם הסיגמה היא גבול וגם האינטגרל זה גבול), אסור ברמת העיקרון.

 

למה פה זה מותר?

[אודי]

מרצה אמר איפה? מתי? באיזה הקשר?

:scratch:

איזה גבול יש לך פה באינטגרל? זה אינטגרל על קטע סופי.

אם אתה מדבר על הגבול של סכומי רימן, הוא לא רלוונטי, כי הוא לא מונע החלפת סדר סכימה ואינטגרציה באינטגרל רגיל בסכום של, נגיד, שתי פונקציות. תכונת הליניאריות הידועה של אינטגרלים:

• http://upload.wikimedia.org/math/8/c/9/8c9d45cbaafdb0128c6afe26f707a355.png

בסכום אין לך שום לקיחת גבול. זה סכום על אינסוף איברים לאורך כל הדרך.

[מנוי]

מרצה אמר איפה? מתי? באיזה הקשר?

:scratch:

בבקשה:

(הקטע מתחיל מהחלק הרלוונטי ונמשך כדקה)

 

 

אוקי, אז אני לא מבין את כל ההתעסקות בהתכנסות במ"ש. למדנו שאם יש לי סדרה של פונקציות http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5En בקטע [0,1] ,אז הסדרה הנ"ל מתכנסת רק נקודתית לפונקציה:  ששווה ל0 בתחום 0(כולל) ל1(לא כולל), ושווה ל1 כאשר ערך הX הוא 1.

 

עכשיו אם אני אעשה אינטגרל לפונקצית הגבול בין 0 ל1, אני אקבל אפס.

מצד שני, אם אעשה אינטגרל על הסדרה עצמה בין 0 ל1 כאשר n שואף לאינסוף, גם אקבל אפס.

אז מה זה משנה אם ההתכנסות היא במ"ש או לא במ"ש במקרה הזה?

[אסף]

מאיפה הבאת שהאינטגרל 0? בפונקציות רציפות וחיוביות האינטגרל 0 אממ הפונקציה זהותית אפס.

[מנוי]

מאיפה הבאת שהאינטגרל 0? בפונקציות רציפות וחיוביות האינטגרל 0 אממ הפונקציה זהותית אפס.

 

עשיתי את זה : http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D(x%5En)=%5Clim_%7Bn%5Cto%20%5Cinfty%20%7D%20%5Cfrac%7B1%5E%7Bn+1%7D%7D%7Bn+1%7D%5Cleft%20=%200

 

וכמובן שאינטגרל על פונקציית הגבול שהיא זהותית אפס, יהיה גם אפס.

 

אז למה בכלל צריך התכנסות במ"ש? במקרה שלנו הסדרה איננה מתכנסת במ"ש ועדיין מתקיים השיוויון.

[אודי]

מנוי, אני לא יודע אם התכוונת שהוידאו יתחיל בנקודת זמן שונה מאפס, אבל הוא מתחיל מהתחלה אצלי.

ראיתי את שתי הדקות הראשונות מהוידאו. הוא מדבר שם על טור טיילור, לא מזכיר אינטגרל ולא מזכיר לקיחת גבול, שלא לדבר על סדר סכימה ואינטגרציה.

אני לא הולך לראות חמישים דקות עכשיו. תגיד באיזה זמן זה נמצא.

[אודי]

טוב, לא חשוב. מצאתי את הקטע הרלוונטי

[מנוי]

מנוי, אני לא יודע אם התכוונת שהוידאו יתחיל בנקודת זמן שונה מאפס, אבל הוא מתחיל מהתחלה אצלי.

ראיתי את שתי הדקות הראשונות מהוידאו. הוא מדבר שם על טור טיילור, לא מזכיר אינטגרל ולא מזכיר לקיחת גבול, שלא לדבר על סדר סכימה ואינטגרציה.

אני לא הולך לראות חמישים דקות עכשיו. תגיד באיזה זמן זה נמצא.

 

איזה הזוי,

דקה 18, שניה 17. הקטע הרלוונטי נמשך כדקה

[אודי]

אני מצרף הוכחה מספר הקורס שבה הם מחליפים את סדר סכימה ואינגרציה כשהם באים להוכיח את סעיף 3.

למשהו יש מושג למה מותר להם?

 

א. לא זכרתי את הקטע הזה לגבי טורים אינסופיים. טעות שלי.

ב. אני חושב שהבנתי למה. שים לב שבשוויון בשורה הראשונה מחליפים את סדר הסכימה והאינטגרציה עבור מספר סופי של אברים, לא עבור כל הטור אינסופי. נשאר להם טור אינסופי בתוך האינטגרל, אבל הוא מתחיל מנקודה מאוחרת יותר. כל עוד הם מחליפים את הסדר עבור מספר סופי של איברים השוויון תקין. ההמשך בשורה השנייה הוא אי שוויון המשולש, ואני חושב שאפשר להכליל אותו גם לטורים אינסופיים. זה לא היה יכול להיות שוויון, כמובן.

[מנוי]

 

אני מצרף הוכחה מספר הקורס שבה הם מחליפים את סדר סכימה ואינגרציה כשהם באים להוכיח את סעיף 3.

למשהו יש מושג למה מותר להם?

 

א. לא זכרתי את הקטע הזה לגבי טורים אינסופיים. טעות שלי.

ב. אני חושב שהבנתי למה. שים לב שבשוויון בשורה הראשונה מחליפים את סדר הסכימה והאינטגרציה עבור מספר סופי של אברים, לא עבור כל הטור אינסופי. נשאר להם טור אינסופי בתוך האינטגרל, אבל הוא מתחיל מנקודה מאוחרת יותר. כל עוד הם מחליפים את הסדר עבור מספר סופי של איברים השוויון תקין. ההמשך בשורה השנייה הוא אי שוויון המשולש, ואני חושב שאפשר להכליל אותו גם לטורים אינסופיים. זה לא היה יכול להיות שוויון, כמובן.

 

 

ואיך כל זה מתחבר להתכנסות במידה שווה?

 

בהרצאה הזאת:

 

 

דקה 37:00

יש משפט שאיטנגרל על http://www.codecogs.com/gif.latex?f_n (כאשר http://www.codecogs.com/gif.latex?f_n היא סידרה של פונקציות) שווה לאיטנגרל על הפונקציה הגבולית שאליה הן מתכנסות.

לא ברור לי למה הדרישה היא שההתכנסות תהיה במידה שווה.

בדוגמא שhttp://www.codecogs.com/gif.latex?f_n=x%5En ההתכנסות היא לא במידה שווה אך עדיין מתקיים שוויון בין האינטגרלים.

מתי השיוויון הזה לא יתקיים?

[אודי]

אולי אני מפספס משהו לפני דקה 37, אבל בוידאו הנוכחי מדברים על סדרת פונקציות שמתכנסת לפונקציית גבול ובוידאו הקודם דברנו על טור אינסופי של פונקציות שמתכנס לגבול (כלומר, סכום)

:scratch:

אין הכרח שיהיה קשר בין הדרישות להחלפת סדר הסכימה באינטגרציה בשני המקרים כי הם שונים

[מנוי]

אולי אני מפספס משהו לפני דקה 37, אבל בוידאו הנוכחי מדברים על סדרת פונקציות שמתכנסת לפונקציית גבול ובוידאו הקודם דברנו על טור אינסופי של פונקציות שמתכנס לגבול (כלומר, סכום)

:scratch:

אין הכרח שיהיה קשר בין הדרישות להחלפת סדר הסכימה באינטגרציה בשני המקרים כי הם שונים

 

ההגדרה של טור אינסופי זה גבול של סדרת הסכומיים החלקיים של הטור.

אז הכול סובב סביב אותו הדבר.

 

כלומר הטענה היא שברגע שיש לך סדרה של פונקציות שמתכנסת במידה שווה לאזשהי פונקציה גבולית(במקרה של טור פונקציות אינסופי יש לך סדרת סכומיים חלקיים של הטור שזה בעצם סדרה של פונקציות שמתכנסת לאיזשהי פונקציה), אפשר להפעיל אינטגרל על הפונקציה הגבולית ולקבל את שוויון של האינטגרלים כפי שמפורט בודיאו האחרון בדקה 37:00. השאלה שלי למה הדרישה היא שההתכנסות תהיה במידה שווה.

 

(במקום אחר יש הוכחה שבמקרה ומדובר על טור של חזקות ***עריכה*** שמתכנס לאזשהי פונקציה גבולית ההתכנסות תמיד תהיה במידה שווה)

 

ברגע שהמשפט שמופיע בהרצאה הזאת בדקה 37:00 מוכח, יש לך בצד אחד תמיד אינטגרל על מספר סופי של איברים, ואז ניתן לבצע אינטגרציה איבר איבר, ולקבל שאיטנגרל על הפונקציה הגבולית זה למעשה הגבול של סדרת הסכומיים החלקיים של האינטגרלים.

אני רק לא מבין למה בהוכחת המשפט הזאת יש דרישה שההתכנסות  של סדרת הפונקציות לפונקציה הגבולית תהיה במידה שווה.

[מנוי]

ההודעה האחרונה נערכה

[מנוי]

אני אנסה לכוון קצת את השאלה.

שים לב שבסריקה שאיתה פתחתי את השרשור. מופיע טור של מספרים http://www.codecogs.com/gif.latex?m_n  והדרישה שהטור הזה יתכנס.

למה צריך אותו בכלל להוכחת הטענה.

לא היה מספיק להגיד שבשביל n מספיק גדול הביטוי שבתוך הערך המוחלט פשוט ישאף לאפס?(אני מדבר על הביטוי שבו מחסרים את 2 האינטגרלים בשורה הראשונה בתמונה השניה שהעלתי  בתחילת השרשור הזה).

[אודי]

שוב, סדרת סכומים חלקיים היא מקרה ספציפי יותר מסתם סדרה וכמו שאמרת בעצמך, ההתכנסות פה היא במידה שווה בכל מקרה. כך שגם טורים מקיימים את הדרישה.

אז השאלה הכללית היא למה צריך שהדרישה הכללית תהיה התכנסות במידה שווה כדי שהמשפט יהיה נכון, אם יש דוגמא אחת שבה ההתכנסות לא במידה שווה וזה עדיין נכון.

[מנוי]

שוב, סדרת סכומים חלקיים היא מקרה ספציפי יותר מסתם סדרה וכמו שאמרת בעצמך, ההתכנסות פה היא במידה שווה בכל מקרה. כך שגם טורים מקיימים את הדרישה.

אז השאלה הכללית היא למה צריך שהדרישה הכללית תהיה התכנסות במידה שווה כדי שהמשפט יהיה נכון, אם יש דוגמא אחת שבה ההתכנסות לא במידה שווה וזה עדיין נכון.

אפילו השאלה שלי יותר ספציפית. כמו שכתבתי למעלה, למה צריך את m-ים האלה בהוכחת הטענה שלמעלה?

[אודי]

ברור לך שמספיקה דוגמא נגדית אחת כדי שהשאלה שלך נופלת, כן? (מקרה שבו ההתכנסות לא במ"ש ולא ניתן להחליף אינטגרציה בלקיחת גבול)

 

[מנוי]

ברור לך שמספיקה דוגמא נגדית אחת כדי שהשאלה שלך נופלת, כן? (מקרה שבו ההתכנסות לא במ"ש ולא ניתן להחליף אינטגרציה בלקיחת גבול)

כן, אתה מצליח לחשוב על דוגמא נגדית שבה סדרת הסכומיים החלקים של הפונקציות תשאף לפונקציה גבול כלשהי, אך אם אתה עושה אינטגרל על הפונקציה הגבול הוא לא יהיה שווה לאינטגרל על סדרת הסכומיים החלקיים כשהיא שואפת לאינסוף?

[אסף]

 

מאיפה הבאת שהאינטגרל 0? בפונקציות רציפות וחיוביות האינטגרל 0 אממ הפונקציה זהותית אפס.

 

עשיתי את זה : http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D(x%5En)=%5Clim_%7Bn%5Cto%20%5Cinfty%20%7D%20%5Cfrac%7B1%5E%7Bn+1%7D%7D%7Bn+1%7D%5Cleft%20=%200

 

וכמובן שאינטגרל על פונקציית הגבול שהיא זהותית אפס, יהיה גם אפס.

 

אז למה בכלל צריך התכנסות במ"ש? במקרה שלנו הסדרה איננה מתכנסת במ"ש ועדיין מתקיים השיוויון.

א. הערה קטנונית: אתה בעצמך כתבת שפונקצית הגבול ב1 היא 1 אז היא לא זהותית 0. זה נכון שהאינטגרל שלה יהיה אפס כי היא לא רציפה ב1. ובכל שאר הקטע היא 0.

ב. עבור כל R קטן מ1 בקטע [R,-R] הטור x^n מתכנס במידה שווה. r^n הוא טור גיאומטרי מתכנס ומתקיים fnx<=r^n לכל x בקטע. בקיצור הטור שהבאת הוא אמנם לא מתכנס במ"ש ב[0,1] אבל אם לוקחים אותו בקטע סגור שקצהו קטן באפסילון מ1 הוא כן טור מתכנס במ"ש. די הגיוני שהאפסילון הזה לא משפיע על הסכום. הבעיה היא שזה לא רק פה. מתוך ויקיפדיה: "בקטע סופי, סדרת פונקציות שמתכנסת נקודתית תתכנס במידה שווה "כמעט" בכל הקטע, במובן שלכל http://upload.wikimedia.org/math/e/1/5/e1540caab61a8062c06b63e1373b91ce.png ניתן להסיר מהקטע קבוצה שמידתה http://upload.wikimedia.org/math/f/d/7/fd7b6480cb3e83c62e0e54aad9169d0f.png כך שבקבוצה הנותרת הסדרה תתכנס במידה שווה." לכן לא נראה לי שאפשר למצוא דוגמא נגדית כל עוד מדברים על קטע סופי כי כאמור בקטע סופי כל התכנסות נקודתית תהיה התכנסות במ"ש בהסרת קטע קטן כרצוננו מתחום ההתכנסות. כיון שהקטע קטן כרצוננו הגיוני שגם טור האינטגרלים יהיה קטן כרצוננו.

ג. צריך את הM בשביל סיום ההוכחה- להראות שאכן הזנב של טור האינטרגלים שואף לאפס. לא מספיק לומר שבשביל n מספיק גדול fn ישאף לאפס כי אנחנו רוצים שהאינטגרל של fn ישאף מספיק מהר שהטור שלו יתכנס. ואת זה  אנחנו מראים על ידי חסימת האינטגרל עם (b-a)mn. 

[מנוי]

 

 

מאיפה הבאת שהאינטגרל 0? בפונקציות רציפות וחיוביות האינטגרל 0 אממ הפונקציה זהותית אפס.

 

עשיתי את זה : http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D(x%5En)=%5Clim_%7Bn%5Cto%20%5Cinfty%20%7D%20%5Cfrac%7B1%5E%7Bn+1%7D%7D%7Bn+1%7D%5Cleft%20=%200

 

וכמובן שאינטגרל על פונקציית הגבול שהיא זהותית אפס, יהיה גם אפס.

 

אז למה בכלל צריך התכנסות במ"ש? במקרה שלנו הסדרה איננה מתכנסת במ"ש ועדיין מתקיים השיוויון.

א. הערה קטנונית: אתה בעצמך כתבת שפונקצית הגבול ב1 היא 1 אז היא לא זהותית 0. זה נכון שהאינטגרל שלה יהיה אפס כי היא לא רציפה ב1. ובכל שאר הקטע היא 0.

ב. עבור כל R קטן מ1 בקטע [R,-R] הטור x^n מתכנס במידה שווה. r^n הוא טור גיאומטרי מתכנס ומתקיים fnx<=r^n לכל x בקטע. בקיצור הטור שהבאת הוא אמנם לא מתכנס במ"ש ב[0,1] אבל אם לוקחים אותו בקטע סגור שקצהו קטן באפסילון מ1 הוא כן טור מתכנס במ"ש. די הגיוני שהאפסילון הזה לא משפיע על הסכום. הבעיה היא שזה לא רק פה. מתוך ויקיפדיה: "בקטע סופי, סדרת פונקציות שמתכנסת נקודתית תתכנס במידה שווה "כמעט" בכל הקטע, במובן שלכל http://upload.wikimedia.org/math/e/1/5/e1540caab61a8062c06b63e1373b91ce.png ניתן להסיר מהקטע קבוצה שמידתה http://upload.wikimedia.org/math/f/d/7/fd7b6480cb3e83c62e0e54aad9169d0f.png כך שבקבוצה הנותרת הסדרה תתכנס במידה שווה." לכן לא נראה לי שאפשר למצוא דוגמא נגדית כל עוד מדברים על קטע סופי כי כאמור בקטע סופי כל התכנסות נקודתית תהיה התכנסות במ"ש בהסרת קטע קטן כרצוננו מתחום ההתכנסות. כיון שהקטע קטן כרצוננו הגיוני שגם טור האינטגרלים יהיה קטן כרצוננו.

ג. צריך את הM בשביל סיום ההוכחה- להראות שאכן הזנב של טור האינטרגלים שואף לאפס. לא מספיק לומר שבשביל n מספיק גדול fn ישאף לאפס כי אנחנו רוצים שהאינטגרל של fn ישאף מספיק מהר שהטור שלו יתכנס. ואת זה  אנחנו מראים על ידי חסימת האינטגרל עם (b-a)mn. 

 מצאתי בספר הקורס דוגמא נגדית:

 

 

http://i.imgur.com/JaXVlHA.jpg

 

 

אם אבחר את סדרת http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Calpha%20_n להיות http://www.codecogs.com/gif.latex?n%5E3 סדרת האינטגרלים לא תתכנס.

[אורח צליל]

טור הפונקציות איקס באן מתכנס במש ברדיוס התכנסותו. בנוסף המשפט אומר שאם ההתכנסות היא במש אז ניתן לעשות החלפה של הסכום והגבול. שימו לב שזה לא משפט אם ורק אם לכן יתכן שיהיה אפשר להחליף בינהם אבל הפונקציה לא תיהיה במש