מבחן ההשוואה הגבולי להתכנסות טורים(חיוביים)

[מנוי]

אני ניסיתי לחשוב על המבחן הזה, והגעתי למסקנה שהוא יעבוד גם אם אחד מהטורים חיובי והשני שלילי.

אני רואה שגם ההוכחה תקפה במקרה כזה וגם לא הצלחתי למצוא דוגמא נגדית שתפריך.

פשוט נקבל שסדרת הסכומים החלקיים של הטור השלילי תהיה מונוטונית יורדת וחסומה מלמטה, ולכן בהכרח מתכנסת.

ואילו סדרה הסכומים החלקיים של הטור החיובי תהיה מונוטונית יורדת וחסומה מלמעלה, ולכן גם בהכרח מתכנסת.

 

אני צודק?

[אודי]

טור שכל איבריו שלילייים אפשר לכתוב כמינוס של טור חיובי.

ברור שהמינוס לא ישנה את ההתכנסות של הטור (רק את הסימן של הסכום), ולכן אפשר לעשות את המבחן עם שני טורים חיוביים ולהסיק מהטור (שכולו) חיובי על הטור (שכולו) שלילי המקביל.

נערך בתאריך אוגוסט 2, 2013 - על-ידי אודי

[מנוי]

אתה יכול לתת לי דוגמא נגדית שבה יהיה גבול  של מנה בין 2 טורים שהם לאו דווקא חיוביים(או שליליים), אך טור אחד יתכנס והשני יתבדר?

[אודי]

זה מעט מאולץ, אבל למשל הטורים

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7B1-n%5E2%7D

ו-

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5E2%7D

הגבול הוא 1-, אבל הטור הראשון מתבדר (כי בפרט האבר הראשון בו הוא פלוס אינסוף והסכום השלילי של שאר האברים סופי, מבחן האינטגרל) והשני מתכנס.

[מנוי]

איך אתה יכול להציב 1 באיבר הראשון?

[אודי]

איך אני יכול לחשב את הגבול (החד צדדי מימין) של הפונקציה  http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D  באפס? אותו הדבר.

נערך בתאריך אוגוסט 2, 2013 - על-ידי אודי

[מנוי]

אבל טור זה לא גבול. אתה ממש מציב מספרים במקום ערכי n וסוכם עד n מסויים. 

[אודי]

נו, אז ממש הצבתי אחד וקבלתי חילוק של מספר סופי חיובי באפס. זה אינסוף.

...אם מפריעה לך הכפילות האפשרית בסימן של האיבר הראשון תסתכל על טור שהוא ערך מוחלט של הטור הראשון. הגבול יהיה אחד אבל מעבר לזה הרעיון אותו רעיון.

נערך בתאריך אוגוסט 2, 2013 - על-ידי אודי

[אודי]

יש לי דוגמא יותר טובה בשבילך. תסתכל על הטור המתבדר

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D

ועל הטור המתחלף המתכנס (לייבניץ)

http://www.codecogs.com/gif.latex?(-1)%5En%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bn%7D%7D

המנה שלהם היא

http://www.codecogs.com/gif.latex?q=%5Cfrac%7B(-1)%5En%20%5Csqrt%7Bn%7D%7D%7Bn%7D

והגבול הוא אפס באינסוף, אבל דווקא הטור הראשון מתבדר והשני מתכנס, ולפי מבחן ההשוואה הגבולית שניהם היו צריכים להתכנס.

נערך בתאריך אוגוסט 2, 2013 - על-ידי אודי

[מנוי]

מבחן ההשוואה הגבולי דורש שהשגבול יהיה קיים וגדול מאפס.

אם הגבול הוא אפס.

 

זה מעט מאולץ, אבל למשל הטורים

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7B1-n%5E2%7D

ו-

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5E2%7D

הגבול הוא 1-, אבל הטור הראשון מתבדר (כי בפרט האבר הראשון בו הוא פלוס אינסוף והסכום השלילי של שאר האברים סופי, מבחן האינטגרל) והשני מתכנס.

 

 

בדקתי פעמיים לגבי הטור הראשון במבחן האיטנגרל, ופעמיים האינטגרל התכנס. אתה בטוח שהטור הזה מתבדר?(הכפלתי אותו במינוס 1, ועשיתי לו מבחן האיטנגרל )

[אודי]

על איזה טור אתה מדבר עכשיו? כי הטור שצטטת מתבדר. דברנו על זה. כי האבר הראשון הוא אינסוף והסכום של השאר אכן מתכנס לפי מבחן האינטגרל.

בנוסף, נתתי לך דוגמא נוספת טובה יותר.

נערך בתאריך אוגוסט 2, 2013 - על-ידי אודי

[מנוי]

זה מעט מאולץ, אבל למשל הטורים

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7B1-n%5E2%7D

ו-

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5E2%7D

הגבול הוא 1-, אבל הטור הראשון מתבדר (כי בפרט האבר הראשון בו הוא פלוס אינסוף והסכום השלילי של שאר האברים סופי, מבחן האינטגרל) והשני מתכנס.

 

אני מדבר על הטור שסומן בציטוט באותיות מודגשות, והוא לא מתבדר. הוא מתכנס לפי מבחן האיטנגרל.

כשאתה מדבר על טורים, אתה לא יכול "להתקרב" לאפס(או להציב אפס). אתה פשוט יכול להתחיל את הטור מ2, ואז הוא באמת מתכנס.

אין לך מושג כזה שהטור ב1 הוא אינסוף.

[מנוי]

יש לי דוגמא יותר טובה בשבילך. תסתכל על הטור המתבדר

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D

ועל הטור המתחלף המתכנס (לייבניץ)

http://www.codecogs.com/gif.latex?(-1)%5En%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bn%7D%7D

המנה שלהם היא

http://www.codecogs.com/gif.latex?q=%5Cfrac%7B(-1)%5En%20%5Csqrt%7Bn%7D%7D%7Bn%7D

והגבול הוא אפס באינסוף, אבל דווקא הטור הראשון מתבדר והשני מתכנס, ולפי מבחן ההשוואה הגבולית שניהם היו צריכים להתכנס.

ברמת העיקרון מבחן ההשוואה הגבולי דורש שהגבול יהיה קיים וגדול מאפס..., אבל אתה צודק שיש מקרה פרטי שבו הגבול יכול להיות שווה לאפס, ואז באמת הטור שנמצא במונה צריך להתכנס, מה שלא מתרחש במקרה שלנו...

[אודי]

אין לך מושג כזה שהטור ב1 הוא אינסוף.

שוב, אם אתה מתחיל אותו מ-2 הוא מתכנס. אם אתה מתחיל אותו מ-1 כמו שדרשתי הוא מתבדר.

אם זה לא משכנע אותך, תסתכל על הטור שהוא הערך המוחלט של הטור הזה. אז בהצבת n=1 מתקבלת זהות עקרונית לגבול של, נגיד, ערך מוחלט של אחד חלקי x באפס. אינסוף.

 

ברמת העיקרון מבחן ההשוואה הגבולי דורש שהגבול יהיה קיים וגדול מאפס.., אבל אתה צודק שיש מקרה פרטי שבו הגבול יכול להיות שווה לאפס, ואז באמת הטור שנמצא במכנה צריך להתכנס, מה שלא מתרחש במקרה שלנו...

מבחן ההשוואה הגבולי לא דורש שהגבול יהיה שונה מאפס. הוא קובע כללים מסויימים לגבולות סופיים וכללים אחרים לאפס.

קבלנו מקרה שבו מבחן ההשוואה הגבולי לא מתקיים עבור טור עם סימנים מתחלפים כמו שדרשת.