פתירת האינטגרל המסויים על ידי שיטה הצבת משתנים

[מנוי]

האם הפונקציה שמציבים במקום משתנה האיטנגרציה צריכה להיות לא רק גזירה אלא גם גזירה ברציפות ,( כי המרצה מציין  שהיא רק צריכה להיות גזירה)?

 

אני מדבר על הפונקציה הפנימית המסומנת באות היוונית "פי" שבתמונה:

 

http://i.imgur.com/yzdplSi.jpg

[אסף]

לא רואה טעות בדברי המרצה. מה גורם לך לחשוב כך? מה חסר לך אם היא גזירה?

[מנוי]

חסר לי שאז הביטוי  הארוך שיש לך בתוך האינטגרל הוא לאו דווקא רציף, (כי אתה לא יודע שנגזרת של פי רציפה), ואז אתה לא יכול להשתמש בנוסחת ניוטון-לייבניץ.

 

גם לפי ויקפדיה היא צריכה להיות גזירה ברציפות:

 

http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%98%D7%92%D7%A8%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%91%D7%90%D7%9E%D7%A6%D7%A2%D7%95%D7%AA_%D7%94%D7%97%D7%9C%D7%A4%D7%AA_%D7%9E%D7%A9%D7%AA%D7%A0%D7%99%D7%9D

[אסף]

א. למה אי אפשר להשתמש בנוסחת ניוטון לייבניץ כשהביטוי באינטגרל לא רציף? לא מספיק אינטגרביליות רימן?

ב. הערך בויקיפדיה עוסק באינטגרלים במרחב, אמנם יש שם סעיף שמצטט את הנוסחה שלנו אבל הדרישה לגזירה ברציפות לא בסעיף הזה.

[מנוי]

בהוכחה של נוסחת ניוטון לייבניץ יש דרישה על הפונקציה שבתוך האינטגרל שתהיה רציפה(בהרצאה נאמר שאפשר להחליש קצת את הדרישה שהיא תהיה רק אינטגרבילית והפונקציה שמגדירה את האינטגרל תהיה גזירה אך לא פורט על זה יותר מידי).

בכל מקרה, האינטגרביליות לפי רימן ממש לא התנאי היחיד לזה שאתה יכול להפעיל את נוסחת ניוטון לייבניץ. התנאי הוא שהיא תהיה רציפה, ועל התנאי הזה גם הנוסחה הוכחה בהרצאה.

סתכל בהוכחה של הנוסחה בשרשור הקודם שהגבת אליו. גם שמה כשבאים להוכיח אותה, מניחים שהפונקציה שבתוך האינטגרל רציפה.

[אסף]

אכן יש דרישה לרציפות האינטגרנד. אני לא בטוח שזה מחייב גזירות ברציפות כי אולי יכול להיות שהנגזרת לא רציפה אך האינטגרנד כולו יהיה רציף. אני יודע על רציפות נקודתית שיכולה להיות במכפלה של לא רציפה ורציפה.

[מנוי]

אולי אפשר למצוא (פונקציה רציפה * פונקציה לא רציפה) שיתן בהכרח פונקציה רציפה.

אבל למה שזה יקרה לכל 2 פונקציות?

 

אני שואל לגבי הוכחת המקרה הכללי.

אני לא מדבר על 2 פונקציות ספציפיות.

[אסף]

אם אתה רוצה לדעת מה הדרישות עדיף להסתפק בדרישה שהאינטגרנד צריך להיות רציף ולא להיכנס לפינות של איך זה משפיע על הפונקציות המרכיבות את האינטגרנד. 

אם אתה רוצה לטעון שגזירות ברציפות תנאי הכרחי אז דוגמא של פונקציות ספציפיות כנל תהווה דוגמא נגדית.

[מנוי]

אני לא טוען שגזירות ברציפות הוא תנאי הכרחי.

אני רק אומר שאם אתה רוצה לנסח תנאי מספק לכך שתוכל להפעיל את השיטה של הצבת משתנים עבור פתירת אינטגרלים , אתה צריך לדרוש שפי תהיה גזירה ברציפות.

אפשר אולי למצוא מקרים חרגים שזה לא מחייב.