הוכחת הטענה שאם הפונקציה רציפה בסביבה של נקודה כלשהי, גם הסופרמום שלה בסביבה חד צדדית של אותה הנקודה שואף לערך שלה באותה הנקודה.

[מנוי]

אני ניסיתי להוכיח את הטענה הזאת באופן פורמלי כמה שאפשר.

אשמח אם משהו יכול להעיף מבט ולהעיר הערות:-)

 

 

http://i.imgur.com/zkQ0MyW.jpg

[אסף]

לא הבנתי מאיפה אתה לוקח את הטענה הזאת, ונראה לי שהיא בכלל לא נכונה על פי הפונקציה הדומה לדיריכלה שבמקום 0 1 שמים X, -X.

לפונקציה גבול 0 ב0 גם ברציונליים וגם באי רציונליים ולכן רציפה ב0 אבל מכל צד בכל סביבה יש ערכים שליליים וחיוביים.

ובכלל אתה משתמש בlimsup שזה סופרמום של גבולות חלקיים ולא של הפונקציה עצמה.

[מנוי]

דבר ראשון, לא ברור לי איך דירכלה קשורה לעסק, דירכלה הרי לא רציפה באף נקודה.

אבל אני מנסה לחשוב על הוכחה של הטענה הזאת :

 

http://i.imgur.com/CymE8Jy.jpg

[אסף]

MX, mx הם (כמעט-עד כדי אפסילון) ערכים של הפונקציה בנקודה כלשהי בקטע אז על פי הגדרת הגבול לכל קטע קטן מדלתא ערכי הפונקציה (וכך גם הסופרמום שלהם) נמצאים בסביבה אפסילונית של הגבול ומרציפות בx0 הגבול fx0.

(אני לא דיברתי על דיריכלה עצמה אלא על גרסה בה מחליפים את 0,1 בx.-x ואז יש רציפות באפס. ההפרכה רלבנטית לניסוח "הסופרמום שלה בסביבה חד צדדית" שכן לא הוזכר כי הסביבה שואפת לאפס.)

[מנוי]

מה זה המושג החדש "הסביבה שואפת לx0. עוד לא ניתקלתי בו.

איך מוכיחים כזה דבר?

תמיד דיברנו על השאיפה נקודתית ולא שסביבה שלמה שואפת.

 

ואני גם לא מבין, גם בדוגמא שלך הסביבה שואפת לאפס, כי גם עבור הרציונליים ועם עבור האי רציונליים, ערכי הפונקציה ילכו ויקטנו.

לא מבין למה ההוכחה שלי לא תקפה לגבי הדירכלה.

 

מה צריך לשנות בהוכחה שלי שהיא תעבוד?

[אסף]

הכוונה כמובן שx שואף לx0 ולכן אורך הקטע (הסביבה) שואף ל0.

הדוגמא שלי נאמרה כשחשבתי שמדובר בסביבה כלשהי, כי לא הזכרת בטענה שהסביבה מוגבלת על ידי x ששואף לx0.

א. limsup זה מילה שמורה לגבול חלקי מקסימלי, אסור להשתמש בה.

ב. ערך הסופרמום של פונקציה בקטע יכול להיות גדול מכל ערכי הפונקציה בקטע. לכן צריך להסביר למה הוא בכל זאת בסביבה אפסילונית. לא עשית כלום בכך שלקחת את ההגדרה ואמרת שt נמצא בסביבת דלתא ולכן ההגדרה מתקיימת. זה ברור מאליו. החלק הבעייתי פה זה שהסופרמום הוא לאו דווקא ערך של הפונקציה ואין לך זכות להציב אותו. ולזה לא התייחסת.

[מנוי]

א.זה שכתבתי שאני מסתכל רק על הסביבה שמשמאל ל( x + דלתא) לא מספיק כדי לומר שהיא מוגבלת על ידי X ששואף לx0?

ב. איך במקרה כזה אני מוכיח שהסופרום של הפונקציה בקטע הוא בעצמו ערך בקטע?

הרי נתון שהפונקציה רציפה רק בx0 לא נתון שהיא רציפה על כל סביבת דלתא(ואז אני לא יכול להתשתמש במשפט ויירשטראס למשל).

[אסף]

א. את זה כתבת בהוכחה. אני לא הבנתי מה הטענה. השאלה הייתה לפי מה שהבנתי מהכותרת. 

ב.אתה לא צריך להוכיח וזה גם לא בהכרח יהיה נכון שהסופרמום הוא ערך של הפונקציה. עליך להוכיח כי הסופרמום גם הוא נמצא בסביבה אפסילונית וזה נובע מההגדרה של סופרמום כחסם עליון מינימלי, כך שלכל ערך הקטן ממנו באפסילון יש ערך של הפונקציה מעליו.

[מנוי]

א. אני לא מדבר על הכותרת. מה שניסיתי להוכיח בהוכחה(הדבר מופיע תחת הכותרת צ"ל) ,הוכח כראוי?

ב. למה שהסופרמום יהיה בתוך סביבת האפסילון. כלומר איך זה נובע מהגדרת הסופרמום?

יותר מזה, הסופרמום של כל סביבה פתוחה(וסביבת אפסילון היא תמיד סביבה פתוחה), אף פעם לא מוכל בסביבה.

ניקח למשל את הסביבה (1,2) הסופרמום הוא 2, אבל הוא לא איבר בקבוצה.

[אסף]

א. לא הוכח כראוי. כאמור לא התייחסת לכך שהסופרמום לא בהכרח ערך של הפונקציה.

ב. הוא אולי לא יהיה מוכל בסביבה האפסילונית הנדרשת לפונקציה אבל הוא יהיה מוכל בסביבה אפסילונית קצת יותר רחבה. הקצת הנוסף שצריך הוא אפסילון על פי המשפט שאם M סופרמום אזי לכל אפסילון קיים fx כך שfx>m-Epsilon. שהרי אחרת m-epsilon הוא חסם יותר הדוק וM לא מינימלי. 

כדי לא להסתבך עם כל האפסילונאוטיקה אפשר פשוט לקחת כל פעם 2 אפסילון ובסביבה הזאת בטוח הסופרמום מוכל.

[מנוי]

אבל אתה לא יכול להגדיל את הסביבה .

אתה קיבלת אפסילון.

עכשיו אתה צריך להוכיח שהסופרמום מוכל בסביבה כלשהי.

אתה לא יכול לבחור אפסילון קצת יותר גדול, ולהגיד שבסביבה של האפסילון הקצת יותר גדול מהאפסילון שקיבלת,הסופרמום מוכל.

[אסף]

כל עוד אני מוכיח שהערכים בסביבה קטנה כרצוננו, זה בסדר. בפרט אם הערכים ברצועה ברוחב K אפסילון. שהרי אם לכל K אפסילון חיובי קטן כרצוננו מתקיים משהו, גם לכל אפסילון קטן כרצוננו זה מתקיים. במילים אחרות אם אפשר לבחור כל אפסילון בפרט אפשר לבחור אפסילון חלקי K. 

[מנוי]

האם עכשיו הפתרון נכון:

 

http://i.imgur.com/Flm9asz.jpg

[אסף]

נראה לי בסדר. אני הייתי מפרט את הגדרת הסופרמום ובשלב אחרי משלב עם הגבול הנתון.

[מנוי]

עכשיו זה יותר בסדר(הפעם כדי להתאמן עשיתי על האינפימום)?

 

http://i.imgur.com/nrjKnme.jpg

[אסף]

לא הבנתי, אתה עדיין מכניס את הגדרת האינפימום ואת הגבול באותה שורה. ההערה שלי הייתה לכתוב את הגדרת האינפימום ואת ההשלכות שלה בלי קשר לכך שלפונקציה יש גבול כלשהו. ורק אחרי זה בנפרד לשלב.

[מנוי]

אה ,הבנתי.

בכל מקרה, תודה!