סכומי רימן-ההגדרה

[מנוי]

למה בהגדרה של פונקציה אינטגרבילית לפי רימן לא מסתפקים פשוט בזה שמצאתי חלוקה, עם פרטמר חלוקה כלשהו, שבה כל סכומי רימן נמצאים במרחק I מאפסילון? למה לדרוש שעבור כול החלוקות עם פרמטר חלוקה קטן מדלתא,  כול סכומי רימן יהיו בהפרש קטן מאפסילון?

[אודי]

א. אינטגרל רימן שימושי כי הוא מתאר באופן מדוייק את השטח מתחת לפונקציה (או את הפונקצייה הקדומה, אם תרצה).

ב. סכום רימן מתאר את השטח מתחת לפונקציה אינטגרבילית רימן באופן מדוייק רק בגבול שבו פרמטר החלוקה שואף לאפס.

ג. אם אתה מסתפק בהגדרה שמתקיימת עבור פרמטר חלוקה אחד במקום סדרה ששואפת לאפס אין השאפה לאפס ואין גבול. בפרט, אפסילון שלך חסום מלמטה עבור פרמטר חלוקה ספציפי, ולכן במקום ערך אחד לאינטגרל יש לך טווח.

נערך בתאריך יולי 26, 2013 - על-ידי אודי

[מנוי]

לא, אני לא מסתפק.

אני רק אומר שאתה נותן לי אפסילון,

 

ואני עבור  אפסילון מוצא לך רק חלוקה ספציפית אחת שעבורה כול סכומי רימן נמצאים במרחק אפסילון מ -I.

מה שמפריע לי בהגדרה זה שהדרישה שאני אוכיח שלכל חלוקה עם פרמטר חלוקה קטן מדלתא כול סכומי רימן ימצאו במרחק אפיסלון מ-I.

 

גם בהגדרה אלטרנטיבית שלי, יש לך את השאיפה לגבול. כי כל פעם  עבור אפסילון אחר שתתן לי, אמצא לך חלוקה ספציפית אחת אחרת (יותר מעודנת) שעבורה כל סכומי רימן ימצאו במרחק אפסילון מ-I, רק אני אהיה פטור מלהראות לך שגם כל חלוקה אחרת עם אותו פרמטר חלוקה או עם פרמטר חלוקה קטן ממנו, גם עבורה כול סכומי רימן ימצאו במרחק אפסילון מ-I.

[אודי]

שוב, המוטיבציה מאחורי ההגדרה של אינטגרל רימן כפי שהיא היא מציאת פונקציה קדומה/חישוב שטח מתחת לגרף הפונקציה.

ההגדרה שלך לא טובה כי היא מאפשרת להגדיר פונקציות שאין להן פונקציה קדומה/שטח מתחת לפונקציה מוגדרים היטב כפונקציות אינטגרביליות.

 

למשל, תסתכל על האינטגרל של פונקציית דיריכלה, ששווה לקבוע a בנקודה רציונלית ול-0 בנקודה לא רציונלית, בקטע [1 0].

 

לפי ההגדרה שלך היא אינטגרבילית רימן, כי אפשר (למשל) לבחור סדרת חלוקות עם פרמטר חלוקה קטן והולך שבה כל קטע מיוצג ע"י ערך בנקודה רציונלית - ואז האינטגרל הזה הוא a.

...אבל ברור שלפונקציה הזו אין פונקציה קדומה ואין שטח מתחת לפונקציה מוגדרים היטב, כי לפי ההגדרה שלך אפשר באותה מידה לבחור סדרת חלוקות עם פרמטר חלוקה קטן והולך שבה כל קטע מיוצג ע"י נקודה לא רציונלית - ואז האינטגרל הזה הוא 0.

אם הגבול של סכומי רימן תלוי בבחירת החלוקה אינטגרל רימן לא מוגדר היטב, אין פונקציה קדומה ואי אפשר לחשב שטח מתחת לגרף הפונקציה.

 

אגב, אפשר להגדיר אינטגרביליות באופן אחר (לבג) ואז פונקציית דיריכלה כן אינטגרבילית, אבל המשמעות של האינטגרביליות הזו היא שונה.

נערך בתאריך יולי 26, 2013 - על-ידי אודי

[מנוי]

למשל, תסתכל על האינטגרל של פונקציית דיריכלה, ששווה לקבוע a בנקודה רציונלית ול-0 בנקודה לא רציונלית, בקטע [1 0].

 

לפי ההגדרה שלך היא אינטגרבילית רימן, כי אפשר (למשל) לבחור סדרת חלוקות עם פרמטר חלוקה קטן והולך שבה כל קטע מיוצג ע"י ערך בנקודה רציונלית - ואז האינטגרל הזה הוא a.

לא, אי אפשר לפי ההגדרה שלי להוכיח שדירכלה היא אינטגרבילית רימן, מכיוון שההגדרה שלי מחייבת שעבור החלוקה הספציפית הזאת  שמצאתי לך, כול סכומי רימן יהיו במרחק אפסילון מ-I, ובחלוקה הספציפית הזאת יש לפחות 2 סכומי רימן(עבור בחירות מתאימות של ערכי C בקטעים השונים) שעבורם הפונקציה תתכנס ל0 ו1 ולכן אם תתן לי אפסילון  ששווה לרבע אהיה בבעיה...

 

מצטט שוב את ההגדרה שלי:"...ואני עבור  אפסילון מוצא לך רק חלוקה ספציפית אחת שעבורה כול סכומי רימן נמצאים במרחק אפסילון מ -I."

 

 

ההוכחה שלי אומרת כזה דבר:

אתה נותן לי אפסילון.

אני מחלק את הקטע למלבנים קטנים, ומוצא חלוקה אחת בלבד שבה כול סכומי רימן מרחקם מI קטנים מאפסילון(למשל בדירכלה זה לא יעבוד כי תהיה לפחות 2 בחירות של Ci שיתנו 2 סכומי רימן שונים שעבור אפסילון של רבע לא אוכל להוכיח לך את זה)

[אודי]

חלוקה מסומנת אחת כוללת בחירה של ערכי c. אם אתה מדבר על חלוקה לא מסומנת אז החלוקה שלך לא ספציפית ולא אחת.

[מנוי]

כשאני מדבר על חלוקה, אני מדבר על קיבעת המלבנים בלבד, לא קביעה של ערכי C.

 

מצאתי חלוקה כזאת אחת.

כי בהגדרה של איטגרביליות לפי רימן יש דרישה שעבור כל החלוקות עם פרמטר חלוקה קטן מדלתא, כול סכומי רימן יהיו במרחק אפסילון מ I,

אך פה אני מוצא לך רק סוג אחד של חלוקה(או אינסוף חלוקות מסוג אחד), שעדיין מבטיחה לך את האינטגרביליות לפי רימן.

[אודי]

אם אתה מסתכל על חלוקה לא מסומנת עדיין מוגדר לך טווח ערכים ולא ערך אחד לתוצאה של סכום רימן.... ואז לא ברור מאיפה ולאן אתה מחשב את האפסילון שלך.

אתה צריך לבחור חלוקה מסומנת אחת.

מסתבר שהגדרה לפיה לכל אפסילון ניתן למצוא חלוקה מסומנת אחת שמרחק סכום רימן שלה מהערך של האינטגרל קטן מאפסילון לה ולכל עידון שלה שקולה להגדרה המקורית של האינטגרל (סכומי רימן של כל החלוקות עם פרמטר חלוקה קטן מדלתא נמצאות במרחק קטן מאפסילון מהאינטגרל) .

http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_integral#Riemann_integral

לא זכרתי את זה.

נערך בתאריך יולי 26, 2013 - על-ידי אודי

[מנוי]

אני לא סתם מסתכל על חלוקה לא מסומנת.

אני אומר משהו אחר.

אתה נותן לי אפסילון, אני מחלק את הפונקציה לכמות מסויימת של מלבנים ומוודא שכול סכומי רימן שלהם נמצאים במרחק אפסילון מ-I,

 

עכשיו אתה נותן לי אפסילון יותר קטן,

אני מוצא לך חלוקה לא מסומנת אחרת, ושוב מוודא שכול סכומי רימן עבור החלוקה הלא מסומנת החדשה נמצאים במרחק אפסילון מ-I,וכך הלאה.

 

בסופו של דבר עבור  n מספיק גדול, אני אקבל שעבור החלוקה הלא מסומנת שאני נותן לך, כול סכומי רימן ישאפו ל-I.

 

ומשום מה בהגדרה בהרצאה היית דרישה שעבור כול חלוקה ועבור כול בחירה.

 

הנה סתכל איך ההגדרה מנוסחת בספר קורס:

 

http://i.imgur.com/730hJUx.jpg

 

 

 

יש פה לדעתי כפליות מיותרת. מספיק שאני כל הזמן מוצא לך חלוקה אחת(לא מסומנת), שעבור כל בחירה של ערכי ci סכום רימן  שלהם נמצאים במרחק אפיסלון מ-I שאתה נותן לי בשביל להבטיח את השאיפה הגבולית ל-I.

[אודי]

אני מסכים אתך שההגדרה הראשונה מסורבלת

הבאתי לך הגדרה חלופית ששקולה אליה ופשוטה יותר

תכ'לס, נראה לי שההגדרה שלך שקולה להגדרה השנייה שהבאתי, אבל ההגדרה השנייה שהבאתי עדיין פשוטה יותר כי היא מחייבת סריקת עידונים של חלוקה מסומנת במקום סריקה של סימונים של חלוקה לא מסומנת ומציאת חלוקות לא מסומנות שונות לכל אפסילון, שפחות נוח לעשות באופן שיטתי

נערך בתאריך יולי 26, 2013 - על-ידי אודי

[מנוי]

ההגדרה בספר עושה מיקס לא ברור של 2 ההגדרות.

מצד אחד היא מחייבת מעבר על כל החלוקות הלא מסומנות, ובדיקה של כל החלוקות המסומנות הרלוונטיות לכל חלוקה לא מסומנת מכל אחת מהחלוקות הלא מסומנות.

[מנוי]

גם את ההגדרה המקורית אפשר היה לייעל.

נגיד אפשר היה לומר שעל כל אפסילון צריך להחזיר אוסף של חלוקות מסומנות עם אותו פרמטר חלוקה שעוברם המרחק בין סכומי רימן שלהם ל-I, היה קטן מאפסילון,

 

ואז ככול שהיית נותן אפסילון יותר קטן, הייתי צריך בלאו הכי להקטין את פרמטר החלוקה.

 

למה לדרוש בהגדרה המקורית שלכל החלוקות המסומנות הקטנות מפרמטר חלוקה כלשהו.

[אודי]

ההגדרה בספר עושה מיקס לא ברור של 2 ההגדרות.

מצד אחד היא מחייבת מעבר על כל החלוקות הלא מסומנות, ובדיקה של כל החלוקות המסומנות הרלוונטיות לכל חלוקה לא מסומנת מכל אחת מהחלוקות הלא מסומנות.

זה לא ערבוב, זו ההגדרה המקורית. "לכל חלוקה" משמעותו כל החלוקות המסומנות של כל החלוקות הלא מסומנות.

 

גם את ההגדרה המקורית אפשר היה לייעל.

נגיד אפשר היה לומר שעל כל אפסילון צריך להחזיר אוסף של חלוקות מסומנות עם אותו פרמטר חלוקה שעוברם המרחק בין סכומי רימן שלהם ל-I, היה קטן מאפסילון,

שוב, ההגדרה המקורית לא פרקטית לבדיקה, והאמת גם לא הכי פרקטי לעבוד עם אוסף חלוקות מסומנות. נוח יותר לעבוד עם חלוקה מסומנת אחת ולעדן אותה.

נערך בתאריך יולי 26, 2013 - על-ידי אודי

[מנוי]

למה בכלל חשבו על ההגדרה המקורית?

היא נשמעת מאוד מסובכת.

עדיף פשוט באמת לעשות אזשהי חלוקה מסומנת ולהתחיל לעדן אותה ולראות לאן כל פעם סכום רימן שואף.

 

ההגדרה השניה נשמעת לי הרבה יותר אינטואיטיבית,לא?

[אודי]

ההגדרה המקורית נשמעת קטגורית ו"הרמטית" יותר (אם כי היא שקולה לחלוטין לשנייה).

...אני מניח שאם אתה מעוניין להבטיח שהאינטגרל מתכנס קל יותר להגדיר דרישה מחמירה ואז לראות איך אפשר להקל אותה מאשר ההפך.

אני בספק אם ההגדרה המקורית נועדה להיות פרקטית להוכחת אינטגרביליות.

[מנוי]

רק לוודא שהבנתי.

ההגדרה המקורית של פונקציה אינטגרבילית לפי רימן היא לכל אפסילון למצוא דלתא שעבור כל החלוקות המסומנות עם פרטמר חלוקה קטן מדלתא(שזה אומר לבחור כל הזמן חלוקה לא מסומנת ולעבור על כל החלוקות המסומנות בה) המרחק של כל סכומי רימון מ-I יהיו במרחק קטן אפסילון.

 

ההגדרה השניה, היא לכול אפסילון למצוא דלתא שעבורו חלוקה מסומנת אחת עם פרמטר חלוקה קטן מדלתא, המרחק בין סכום רימן המתאים לה מ-I, יהיה קטן מאפסילון.

 

אני צודק?

[אודי]

לא לגבי ההגדרה השנייה. ההגדרה השנייה היא למצוא לכל אפסילון חלוקה מסומנת שהיא וכל העידונים שלה נמצאים במרחק קטן מאפסילון מ-I.

 

For all ε > 0, there exists a tagged partition http://upload.wikimedia.org/math/6/e/7/6e7368cb9fdf72f4673e67aa54804a38.png and http://upload.wikimedia.org/math/4/6/c/46ce1561759675e92312b4ffe3aa534e.png such that for any refinement http://upload.wikimedia.org/math/b/8/b/b8bcdde8ab99cca6936ac5843a89546d.png and http://upload.wikimedia.org/math/5/8/2/582a86a6f691afe45d694e2392cc5e9c.png of http://upload.wikimedia.org/math/6/e/7/6e7368cb9fdf72f4673e67aa54804a38.png and http://upload.wikimedia.org/math/4/6/c/46ce1561759675e92312b4ffe3aa534e.png, we have

http://upload.wikimedia.org/math/1/c/0/1c09da12157c8e793d480b2ea757def4.png

http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_integral#Riemann_integral

[מנוי]

נראה לי שהבנתי, תודה!!