כלל לופיטל

[מנוי]

איך על ידי כלל לופיטל ניתן להוכיח:

 

שהגבול של :

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bp(x)%7D%7D%7Be%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D%7D%7D

 

שואף לאפס לכל פולינום http://www.codecogs.com/gif.latex?p(x)

 

אני יודע להוכיח עבור מקרה פרטי של פולינום שווה לX.

אבל למקרה כללי אני מתחיל להסתבך עם הניגזרות של המונה של הפולינום.

[אודי]

הגבול באפס או באינסוף?

[מנוי]

אה כמובן, הגבול באפס. שכחתי לציין. סורי.

[אודי]

נראה לי שאתה צריך להציג את השבר הפוך, כשהפולינום במכנה והאקספוננט (עם חזקה שלילית) במונה.

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Be%5E%7B-1/x%5E2%7D%7D%7Bp(x)%7D

אתה צריך לגזור את הפולינום עד הנגזרת הראשונה שלא מתאפסת באפס (אם לפולינום יש אבר מסדר m, הנגזרת ה-m-ית שלו שונה מאפס ב-x=0 כי יש אבר חופשי). כלומר, המכנה שונה מאפס.

 

המונה, לעומת זאת, מתאפס, כי אחרי הגזירה תהיה לך שם פונקציה שהיא סכום של איברים מהצורה

http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E%7B-%5Calpha%7D%20e%5E%7B-1/x%5E2%7D

עבור http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Calpha, והאברים האלו מתאפסים כולם באפס בגלל האקספוננט (אם לדעתך אתה צריך להוכיח גם את זה אפשר בנפרד),

נערך בתאריך יולי 21, 2013 - על-ידי אודי

[מנוי]

ואם הפולינום עצמו לא מתאפס באפס בגלל האיבר החופשי ששונה מאפס?

[אודי]

אז לא צריך להשתמש בלופיטל בכלל. הגבול מתקבל מייד (כי האקספוננט השלילי במונה מתאפס והפולינום במכנה לא).