חישוב גבול של פונקציה

[מנוי]

אני מנסה לחשב את הגבול של הפונקציה הזאת  כשהיא הולכת למינוס אינסוף.

יש למישהו רעיונות איך לעשות את זה:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?(x%5E2(3-x))%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%7D+x

 

 

 

(אגב הגבול הוא 1, אבל איך להגיע אליו?)

 

בנוסף, איך להראות שהגבול הנ"ל כשהיא הולכת לאינסוף לא קיים.

[אסף]

מוציא גורם משותף מינוס איקס בשלישית, עושה על זה שורש שלישי ומקבל:

x-x(1-3/x)^1/3

x(1-(1-3/x)^1/3

נשים את x כ1/x במכנה. 0/0 ->לופיטל.

יוצא לי משהו ששואף לאחד.

נראה שאין הבדל בין אינסוף למינוס אינסוף. ראיתי בוולפראם יש הבדל ואני מבין שהבעיה היא שהוא מפרש שורש שלישי של מינוס אחד כמספר מרוכב. מבחינתו התחום של הפונקציה הממשית הוא עד 3 וממילא אין גבול ממשי באינסוף.

[מנוי]

לא הבנתי מה עשית.

אפשר הסבר מפורט?

[אסף]

תוציא מינוס איקס מהסוגריים הפנימיים, יוצא 3 חלקי מינוס איקס ועוד אחד. מחוץ לסוגריים יש עכשיו מינוס איקס בשלישית. שורש שלישי של מינוס איקס בשלישית זה מינוס איקס. ככה זה אצלנו. לפי וולפראם שורש שלישי של מינוס אחד למשל זה מספר מרוכב. ולכן החשבון שלו יוצא אחרת. אחרי שהוצאתי מינוס איקס מהשורש אני יכול לעשות את x גורם משותף. יש לי עכשיו איקס כפול משהו. זה בעצם משהו חלקי אחד חלקי איקס. ואז יש אי ודאות מסוג אפס חלקי אפס שמצדיקה שימוש בלופיטל. אחרי צמצום יוצא (אחד פחות שלוש חלקי איקס) בחזקת מינוס שני שליש. הסוגריים שואפים לאחד ואחד בחזקת כל דבר זה אחד.

[מנוי]

רק אני לא מבין למה וולאפארם מצייר את הפונקציה בצורה לא נכונה :

 

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%5E2%283-x%29%29%5E%281%2F3%29

 

הרי הנגזרת שלה שלילית כאשר X גדול מ2. בX=3 אמנם היא לא גזירה, אך היא ממישכה לרדת לערכי X גדולים משלוש.

 

מה הולך כאן?

[אסף]

שוב, וולפראם מתייחסת לשורש השלישי של מספר שלילי כאל מספר מרוכב. תראה בקישור שלך בסעיף properties as real function שהתחום מוגדר להיות X קטן שווה שלוש. לכן כל מה שהוא מצייר ונותן גבול אחרי 3 זה לא בממשיים.

[מנוי]

למה הוא עושה את זה?

[אורח AMICH]

כי זה מסבך את ההגדרות אם נגדיר שורש אי זוגי שלילית ולכן בכל מצב של שורש הוא מתייחס אליו כתכונות של שורש זוגי (שלא יכול להיות שלילי..)