הוכחת מינימום של פונקציה

[מנוי]

נתונה פונקציה : http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x)=%20(x+1)%5E2+%20(x+2)%5E2

 

אני רוצה לגזור ולמצוא לה מינימום.

אני גוזר, משווה לאפס ומגלה שהנגזרת מתאפסת  בנקודה : http://www.codecogs.com/gif.latex?(%5Cfrac%7B-3%7D%7B2%7D,%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)

עכשיו אני רוצה להוכיח שזאת מנימום גלובלי ולא סתם מינימום מקומי.

מה עדיף לעשות?

אני יכול להראות שהפונקציה יורדת בסביבה השמאלית של הנקודה ועולה בסביבה הימנית.

אבל זה לא משמש כהוכחה לזה שהנקודה היא מינימום מוחלט.

למשל אם לצורך העניין הפונקציה היא פונקציה קבועה באיזשהו חלק שלה, אז גם אם מצאתי נקודה שהנגזרת בה מתאפסת וגם אם מתקיים שהפונקציה יורדת בסביבה השמאלית של הנקודה ועולה בסביבה הימנית של אותה הנקודה(כול הדיון של מינימום מוחלט מתקיים סביב עולה/יורדת באופן שלא ממש. כלומר גם פונקציה קבועה לצורך הדיון היא עולה/יורדת),

זה עדיין לא אומר שהנקודה היא מינימום מוחלט.

[אסף]

הפונקציה גזירה על כל הישר, הנגזרת ליניארית ולכן מימין לנקודה הנ"ל הפונקציה עולה ממש ומשמאל יורדת ממש. למה לדבר רק על סביבות כשאפשר מיידית מהנתונים לדבר על כל הישר?

[מנוי]

איך מזה שהפונקציה עולה ממש מימין ויורדת ממש משמאל מהווה הוכחה שזהו מינימום מוחלט?

אני פשוט מנסה להאחז באיזשהו משפט או הוכחה פורמלית.

[אודי]

כי זה אומר שכל ערך מימין ומשמאל יהיה גדול יותר. מאינטגרציה על הנגזרת ורציפות הפונקציה.

http://www.codecogs.com/gif.latex?f_%7B(x)%7D=f_%7B(x_%7Bmin%7D)%7D+%5Cintop_%7Bx_%7Bmin%7D%7D%5E%7Bx%7Df'(x')dx'

האבר השני תמיד חיובי.

[אסף]

אפשר גם בלי אינטגרציה, מהגדרת מונוטוניות עולה ממש לכל X גדול מMIN, מתקיים אי שוויון דומה בין ערכי הפונקציה.

 

אודי, באינטגרציה של הנגזרת שמת תגים על האיקסים, זה נראה לי כמו טעות, לפחות מעולם לא נתקלתי בצורה כזאת.

[אודי]

העובדה שלא נתקלת במשהו לא אומרת שהוא טעות.

http://www.codecogs.com/gif.latex?x' הוא פשוט משתנה אינטגרציה שונה מ-x.

הייתי יכול לכתוב באותה מידה y או z במקום http://www.codecogs.com/gif.latex?x'.

[מנוי]

תודה, הבנתי