חדוא 1ת-הסבר אינטואטיבי לתופעה בניגזרות

[מנוי]

אני מנסה להבין איך ייתכן שלפונקציה  http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E2sin(1/x)  יש נגזרת באפס(הפונקציה מוגדרת באופן ידני באפס להיות אפס), אך לנגזרת שלה אין בכלל גבול באפס!

כלומר הרי אם יש נגזרת ,זה אומר ששיפועי המשיקים של הפונקציה ככול שאני הולך ומתקרב לאפס, הולכים ושואפים לאיזשהו שיפוע ספציפי.

עכשיו הנגזרת זאת בעצם פונקציה של אותם שיפועי המשיקים, כלומר אם שיפועי המשיקים הולכים ושואפים לאיזשהו גודל ככול שאני מתקרב לאפס, זאת אומרת שהפונקציה המתארת אותם שואפת לאותו הגודל, כי הפונקציה בסה"כ מתארת את שיפועי המשיקים, אז איך ייתכן שהנגזרת תהיה קיימת  בנקודה כלשהי, אך לנגזרת כפונקציה לא יהיה בכלל גבול באותה הנקודה.

[אודי]

החוק לגזירת מכפלה שבו אתה משתמש כדי להשיג ביטוי אנליטי לנגזרת מניח באופן מובלע שכ"א מהפונקציות במכפלה גזירה בנקודה שבה אתה משתמש בו.

ההנחה הזו אינה תקפה נקודתית ב-x=0 כי http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Csin(1/x) אינה גזירה שם.

...לכן הכלל לא ניתן ליישום בנקודה הזו והביטוי לא מתאר את הנגזרת שם, גם לא ברמה הגבולית.

[מנוי]

אני רק לא מצליח לדמיין איך זה שככול שאני מתקרב לאפס ,השיפועים נהיים אפסיים, אך כשאני בא לתאר את זה באמצעות פונקציה, פתאום לפונקציה אין גבול.

הרי המשמעות שלהגיד ש"השיפועים נהיים אפסיים" זה שיש גבול לפונקציה.

[אודי]

אבל ההנחה שבאמצעותה הגעת לפונקציה הזו (שתי הפונקציות במכפלה גזירות) לא תקפה באפס. ולכן לא חייב להיות קשר בין הפונקציה לבין הנגזרת באפס.

כשאתה מנסה להשליך הגדרה מחוץ לתחום התקפות שלה תקבל באופן טבעי סתירות ודברים לא אינטואטיביים

...אתה יכול באותה מידה להתפלא מכך ש-x^-1 מקבלת ערך סופי בכל נקודה ליד אפס אבל אינסוף באפס עצמה ("איך זה יכול להיות? הרי בכל נקודה ליד אפס יש ערך מוגדר וסופי!").

 

וגם, אין שיפועים שהולכים וקרבים לאפס בפונקציה עצמה. כמו שאמרת, לפונקציה אין שום גבול באפס.