שלוש שאלות בחדו"א 2

[Ron]

אם למישהו יש את הפנאי להסביר איך פותרים אותן.

[אודי]

1. אתה מחשב נפח, כלומר אינטגרל על יחידה בכל התחום המתואר. אחרי אינטגרציה טריוויאלית ב-z (נע בין אפס ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Csin%20(x%5E2+y%5E2))  מעבירים את האינטגרל לקואורדינטות פולריות ומתקבל אינטגרל על http://www.codecogs.com/gif.latex?r%20%5Csin%20(r%5E2) כאשר r בין אפס לשורש פאי ותטא בין אפס לשני פאי. האינטגרל ב-r פתיר אנליטית, כי האינטגרנד הוא הנגזרת של http://www.codecogs.com/gif.latex?-%5Ccos%20(r%5E2)/2. האינטגרל בתטא טריוויאלי. 

 

2. משפט הדיברגנץ. השטף של השדה דרך המעטפת שווה לאינטגרל הנפחי של הדיברגנץ של השדה. מכיוון שהדיברגנץ קבוע (3), התוצאה היא פשוט נפח האליפסואיד כפול 3. את נפח האליפסואיד אפשר לחשב ע"י מעבר לקואורדינטות אליפטיות מתאימות:

http://www.codecogs.com/gif.latex?x=r%20%5Csin%20%5Ctheta%20%5Ccos%20%5Cphi

http://www.codecogs.com/gif.latex?y=r%20%5Csin%20%5Ctheta%20%5Csin%20%5Cphi

http://www.codecogs.com/gif.latex?z%20=%202r%20%5Ccos%20%5Ctheta

היעקוביאן יוצא http://www.codecogs.com/gif.latex?2r%5E2%20%5Csin%20%5E2%20%5Ctheta. אינטגרציה על פי בין אפס לשני פאי, על תטא בין אפס לפאי ועל r בין אפס לאחד.

 

3. מחשבים את הגרדיינט למשטח בנקודה. לאחר גזירה חלקית והצבת ערכי x,y,z של הנקודה מתקבל שהגרדיינט שווה ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?(e%5E2,e%5E2,-4e%5E2)=e%5E2(1,1,-4). ניתן למצוא את וקטור הכיוון של הישר מבחירת שתי נקודות עליו וחישוב ההפרש ביניהן (למשל (2,2,1) ו-(7-,4,4)) ואז מתקבל ששני הוקטורים, הגרדיינט למשטח בנקודה ווקטור הכיוון של הישר, פרופורציונים, כלומר הישר ניצב למישור המשיק למשטח.

נערך בתאריך יולי 14, 2013 - על-ידי אודי

[Ron]

תודה. רק דבר שלא הבנתי: בשאלה השלישית- איך אתה עושה למשטח גראדיינט? הוא נתון בהצגה סתומה. זה אומר שצריך למצוא את הנגזרות החלקיות שלו ע"י משפט הפונקציות הסתומות? או שהעברת אגף ופשוט גזרת לפי x y ו z?

ודבר נוסף:

אם אני לוקח את הישר פרמטרית, אני אקבל שהוא נראה כך:

x(t)= 2

y(t)= 2

z(t)= 1-4t

אז אני לא מבין איך אתה אומר שהנקודות 4,4,-7 נמצאת עליו..

[אודי]

1. העברתי אגף וגזרתי (לא שהיה צריך, כי באגף השני יש קבוע שממילא נעלם בגזירה). הגרדיינט פה לא מחייב צורה מפורשת לחישוב.

2. ההצגה הפרמטרית שלך לא נכונה. לפי ההצגה הזו הישר מקביל לציר z, והוא לא (בפרט ערכי x,y משתנים). אם תציב את ערכי הנקודה (7-,4,4) במשוואת הישר המקורית תראה שמתקבלת זהות (2=2=2), כלומר הנקודה על הישר.