אלגברה לינארית-מטריצות הפיכות

[abcdabcd]

שאלה שהופיע במתנט ולא ידעתי איך להוכיח אותה..

 

השאלה הייתה-תהי מטריצה הפיכה שסכום כל שורה בה הוא 23.

 

אזי, סכום כל שורה במטריצה ההפוכה הוא ____

 

התשובה היא כמובן 1/23, אבל איך מוכיחים זאת?

[אודי]

כשאתה כופל את המטריצה A בוקטור עמודה שכולו אחדים אתה מקבל וקטור עמודה שכולו 23, כלומר (נדגים על A שהיא 2X2):

http://www.codecogs.com/gif.latex?A%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D1%5C%5C1%5Cend%7Barray%7D%5Cright)=%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D23%5C%5C23%5Cend%7Barray%7D%5Cright)=23%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D1%5C%5C1%5Cend%7Barray%7D%5Cright)

 

כעת, הכפל את אגף ימין ואגף שמאל של השוויון במטריצה ההופכית של A (משמאל), חלק את השוויון ב-23, ותקבל:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7B23%7D%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D1%5C%5C1%5Cend%7Barray%7D%5Cright)=%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B23%7D%5C%5C%5Cfrac%7B1%7D%7B23%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright)=A%7B%7D%5E%7B-1%7D%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D1%5C%5C1%5Cend%7Barray%7D%5Cright)

 

ולכן סכום השורות במטריצה ההופכית חייב להיות הופכי לסכום השורות במטריצה המקורית.

 

[אודי]

או בשפה נקייה יותר - מטריצה שבה סכום כל השורות קבוע ושווה ל-23 היא מטריצה ש-23 הוא ערך עצמי שלה עם וקטור עצמי שכולו אחדים.

הערכים העצמיים של המטריצה ההופכית הופכיים לערכים העצמיים של המטריצה המקורית והוקטורים העצמיים משותפים (אפשר לראות למה בפוסט הקודם), ולכן 1/23 חייב להיות ערך עצמי של המטריצה ההופכית עם אותו וקטור עצמי.

מכאן נובע שסכום השורות במטריצה ההופכית הוא 1/23.