חדווא 1ת

[יוזר]

היי,

בשאלה 1:

"הרצתי" כמה איברים ראשונים וראיתי שהזוגיים מתכנסים ל-1/2 והאי-זוגיים מתכנסים ל-1.

איך אני מוכיח את זה שתת-הסדרה של הזוגיים - גבולה הוא 1/2 , ושתת-הסדרה של האי זוגיים - גבולה הוא 1?

 

ניסיתי באינדוקציה ולא הצלחתי.  
 

 

תודה.

HW3.pdf

[Flying Python]

קודם נמצא ביטויים לתתי-הסדרות שיכללו רק אינדקס זוגיים או רק אינדקסים אי-זוגיים (כי כרגע המצב הוא שאיבר במקום זוגי מוגדר ע"י האיבר במקום האי-זוגי שלפניו, ולהיפך).

אח"כ נוכיח ששתי תתי-הסדרות הנ"ל (אינדקסים זוגיים, אינדקסים אי-זוגיים) מתכנסות (אני הייתי מוכיח שהן מונוטוניות וחסומות, באינדוקציה למשל, אבל אולי יש עוד דרך).

מרגע שהוכחת את זה, אפשר פשוט להשתמש באריתמטיקה וישר לגלות שהגבול של הזוגיים הוא 1/2 והאי-זוגיים הוא 1.

מכיוון ששתי תתי-הסדרות הנ"ל הן ממצות, אלה הם הג"ח היחידיים של הסדרה, ולכן מצאת גם את הגבול העליון וגם את התחתון.

 

כל זה יוצא ממש קצר ונחמד, מלבד האינדוקציה (על אף שהיא פשוטה). אם מישהו חשב על דרך נוספת אני אשמח לשמוע.

[אורח אורח]

אני לא יודע אם אתה מתכוון לזה אבל ממה שאני ראיתי יוצא 

a_2n=(2^n-1-1)/2n
a_2n+1=(2ⁿ-1)/2<sup>n

העניין הוא איך אני מוכיח שאלה באמת האיברים הכללים.

אם אני מוכיח את זה, אז זה די ברור שהגבול של התת-סדרה הראשונה כש-n שואף לאינסוף הוא 1/2 ושל התת-סדרה השנייה הוא 1.</sup> 
 

^{לזה התכוונת? למה צריך מונוטוניות וחסימות?}
 

[יוזר]

אני לא יודע אם אתה מתכוון לזה אבל ממה שאני ראיתי יוצא 

a_2n=(2^n-1-1)/2n
a_2n+1=(2ⁿ-1)/2ⁿ

העניין הוא איך אני מוכיח שאלה באמת האיברים הכללים.

אם אני מוכיח את זה, אז זה די ברור שהגבול של התת-סדרה הראשונה כש-n שואף לאינסוף הוא 1/2 ושל התת-סדרה השנייה הוא 1. 
 

לזה התכוונת? למה צריך מונוטוניות וחסימות?

[Flying Python]

אני התכוונתי לזה: http://www.codecogs.com/gif.latex?a_%7B2n%7D=%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D+%5Cfrac%7Ba_%7B2n-2%7D%7D%7B2%7D.

ואז (בהנחה שהגבול קיים) מאריתמטיקה של גבולות נובע http://www.codecogs.com/gif.latex?L=%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D+%5Cfrac%7BL%7D%7B2%7D.

 

אם בכל זאת אתה רוצה להשתמש בנוסחאות הסגורות שמצאת, הדרך להוכיח שהן באמת מתארות את איברי הסדרה היא באמצעות אינדוקציה (גם אז נדמה לי שתצטרך את המשוואה הראשונה שעכשיו רשמתי).

[יוזר]

אחלה תודה (אגב, זה יוצא די ארוך...ומאוד דומה לשאלה 2) אבל הצלחתי. תודה!