מתנט חדו"א 2ת'

[Fluff]

http://i.imgur.com/4NQMmBU.png?1

יש משהו שלא ממש הבנתי בשאלה הזאת:

f במסלול הנתון היא פונקציה במשתנה אחד, מה זה אומר נגזרת מכוונת שלה? איך מוצאים את זה?

 

תודה מראש :)

[אודי]

הנגזרת המכוונת מוגדרת כמכפלה סקלרית של הגרדיינט של f בוקטור הכיוון המנורמל  (במקרה הזה http://www.codecogs.com/gif.latex?n=%5Cfrac%7B(1,-1)%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D )

 

ע"מ לחשב את הנגזרת המכוונת במקרה הזה את פועלת לפי השלבים הבאים:

1. חישוב הגרדיינט של f באמצעות גזירה לפי x,y

2. הצבה ברכיבי x,y של הגרדיינט את x,y של המסלול כפונקציה של t.

3. מכפלה סקלרית של הגרדיינט כפונקצייה של t בוקטור הכיוון המנורמל.

[Fluff]

אה אז בעצם מתייחסים ל-f כאל פונ' ב-2 משתנים, ורק אחרי הגזירה כאל פונ' במשתנה אחד.

תודה!

[Fluff]

הממ בסעיף הבא המסלולים הם x(t)=4sint ו-y(t)=4cost, וקודם לחשב את הגרדיאנט ואז להציב את x,y לפי t לא מביא תוצאה נכונה.

אולי יש פה משהו עם כלל השרשרת?

[אודי]

שימי לב שעכשיו וקטור הכיוון המנורמל משתנה בזמן אז לא רק הגרדיינט תלוי ב-t. התחשבת בזה?

[Fluff]

זה מה שניסיתי עכשיו:

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20n%7D=%5Cbigtriangledown%20f%5Ccdot%20%5Chat%7Bn%7D=(%5Cfrac%7B-x%7D%7B15%7D,%20%5Cfrac%7B-y%7D%7B14%7D)%5Ccdot%20(sint,cost)=%5Cfrac%7B-4sin%5E2t%7D%7B15%7D-%5Cfrac%7B4cos%5E2t%7D%7B14%7D

(השוויון האחרון מתקבל אחרי הצבת x(t)=4sint, y(t)=4cost )

לא ניסיתי את זה (נסיון אחרון) אבל זה כנראה לא נכון.

 

יש לי תחושה שוקטור הכיוון הוא משהו אחר (ניסיתי לצייר איך זה יתקדם על המעגל, לא הצלחתי להסיק משם את וקטור הכיוון).

עריכה: יכול להיות שזה http://www.codecogs.com/gif.latex?(cost,%20-sint)? הגעתי לזה מהציור אבל אם יש דרך יותר פורמלית אני אשמח לדעת.

[אודי]

אכן. הכיוון המשיק לעקום מתואר ע"י הנגזרת, מסיבה פשוטה ששיפוע הקו המשיק לעקום הוא

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D=%5Cfrac%7B%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdt%7D%7D%7B%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D%7D