חיבור של דטרמיננטות

[מנוי]

משהו יכול להסביר לי איך ניתן ככה לחבר דטרמינטטות.

 

מה הם פשוט חיברו את אברי האלכסון וזהו?

 

http://i.imgur.com/7hHzWWa.jpg

 

(סעיף ד ,איפה שהחץ)

[incog]

תפתח לפי השורה האמצעית ותראה שזה באמת נכון...

[אודי]

דטרמיננטה היא בעצם סכום של מכפלות. ובסכום של מכפלות ניתן להוציא גורמים משותפים, אם קיימים.

מכיוון שהשורה הראשונה והאחרונה של כל מטריצה בסכום הדטרמיננטות זהות, ניתן להוציא כגורם משותף את האברים בשורות האלו ולקבל דה פקטו את הדטרמיננטה הראשונה בשורה השנייה.

כמובן שהמעבר הזה לא נכון עבור סכום דטרמיננטות שבו אין מטריצות עם שתי שורות זהות.

[מנוי]

דטרמיננטה היא בעצם סכום של מכפלות. ובסכום של מכפלות ניתן להוציא גורמים משותפים, אם קיימים.

מכיוון שהשורה הראשונה והאחרונה של כל מטריצה בסכום הדטרמיננטות זהות, ניתן להוציא כגורם משותף את האברים בשורות האלו ולקבל דה פקטו את הדטרמיננטה הראשונה בשורה השנייה.

כמובן שהמעבר הזה לא נכון עבור סכום דטרמיננטות שבו אין מטריצות עם שתי שורות זהות.

 

ואם היית שורה אחת משותפת הייתי יכול להוציא אותה, ולחבר את האברים בשורות הלא משותפות?

[אודי]

זה לא היה עובד, כי אז מה שיש מחוץ לגורם המשותף הוא לא סכום פשוט אלא סכום מכפלות.

כשאתה מחבר את האברים בשורות הלא משותפות באופן שאתה מציע ועושה את המכפלה אתה תקבל אברים שלא קיימים בסכום המכפלות המקורי.

[מנוי]

זה לא היה עובד, כי אז מה שיש מחוץ לגורם המשותף הוא לא סכום פשוט אלא סכום מכפלות.

כשאתה מחבר את האברים בשורות הלא משותפות באופן שאתה מציע ועושה את המכפלה אתה תקבל אברים שלא קיימים בסכום המכפלות המקורי.

 

אני לא כזה מצליח להבין על מה אתה מדבר,

אם יש לך כוח, אשמח אם תדגים.

[אודי]

נניח שיש לנו שתי מטריצות 3X3 שיש להן רק שורה אחת משותפת, הראשונה.

 

a  b  c

M_1= d  e  f

g  h  i

 

a  b  c

M_2= j   k   l

m  n  o

 

נרשום את הדטרמיננטה של שתיהן:

http://www.codecogs.com/gif.latex?D_1=a(ei-fh)+b(fg-di)+c(dh-eg)

http://www.codecogs.com/gif.latex?D_2=a(ko-ln)+b(lm-jo)+c(jn-km)

a,b,c הם האברים המשותפים בשורה הראשונה. כל שאר האברים שונים ומסומנים באותיות שונות.

 

עכשיו ננסה לחשב את סכום הדטרמיננטות בדרך שהצעת, ע"י החלפת אבר בשורות הלא משותפות בסכום האיברים של שתי המטריצות באותו מקום

 

a      b         c

M_3 =  d+j    e+k    f+l

g+m   h+n   i+o

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?D_3=a((e+k)(i+o)-(f+l)(h+n))+b((f+l)(g+m)

http://www.codecogs.com/gif.latex?-(d+j)(i+o))+c((d+j)(h+n)-(e+k)(g+m))

 

תסתכל על המכפלה הראשונה. אפשר לראות מייד שאתה מקבל שם את האברים aki,aeo שלא קיימים בסכום הדטרמיננטות ולא מתבטלים ע"י שום מינוס, כך ש

http://www.codecogs.com/gif.latex?D_1+D_2%20%5Cneq%20D_3

 

הסיבה שזה לא עובד, כאמור, הוא שכרק שורה אחת שונה אפשר להוציא גורם משותף מסכום הדטרמיננטות ולקבל שההחלפה הזו לגיטימית.

כשיותר משורה אחת שונה פשוט אי אפשר להוציא את הגורם המשותף המבוקש שיאפשר לנו לעשות את ההחלפה.

 

[מנוי]

נניח שיש לנו שתי מטריצות 3X3 שיש להן רק שורה אחת משותפת, הראשונה.

 

a  b  c

M_1= d  e  f

g  h  i

 

a  b  c

M_2= j   k   l

m  n  o

 

נרשום את הדטרמיננטה של שתיהן:

http://www.codecogs.com/gif.latex?D_1=a(ei-fh)+b(fg-di)+c(dh-eg)

http://www.codecogs.com/gif.latex?D_2=a(ko-ln)+b(lm-jo)+c(jn-km)

a,b,c הם האברים המשותפים בשורה הראשונה. כל שאר האברים שונים ומסומנים באותיות שונות.

 

עכשיו ננסה לחשב את סכום הדטרמיננטות בדרך שהצעת, ע"י החלפת אבר בשורות הלא משותפות בסכום האיברים של שתי המטריצות באותו מקום

 

a      b         c

M_3 =  d+j    e+k    f+l

g+m   h+n   i+o

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?D_3=a((e+k)(i+o)-(f+l)(h+n))+b((f+l)(g+m)

http://www.codecogs.com/gif.latex?-(d+j)(i+o))+c((d+j)(h+n)-(e+k)(g+m))

 

תסתכל על המכפלה הראשונה. אפשר לראות מייד שאתה מקבל שם את האברים aki,aeo שלא קיימים בסכום הדטרמיננטות ולא מתבטלים ע"י שום מינוס, כך ש

http://www.codecogs.com/gif.latex?D_1+D_2%20%5Cneq%20D_3

 

הסיבה שזה לא עובד, כאמור, הוא שכרק שורה אחת שונה אפשר להוציא גורם משותף מסכום הדטרמיננטות ולקבל שההחלפה הזו לגיטימית.

כשיותר משורה אחת שונה פשוט אי אפשר להוציא את הגורם המשותף המבוקש שיאפשר לנו לעשות את ההחלפה.

 

איזה גורם משותף?

 

אני בדקתי שזה באמת מסתדר,

אבל לא הוצאתי גורמים משותפים,

בסה"כ כנסתי איברים דומים וראיתי שזה באמת יוצא ככה.

אבל אני לא מצליח לראות איזשהי חוקיות לעניין.

[אודי]

כינוס אברים דומים והוצאת גורם משותף זה אותו הדבר במקרה הזה.

הגורם מורכב מהאברים של השורות הזהות.

ואמרנו מה החוקיות - כשרק שורה אחת שונה זה עובד, בשאר המקרים לא (לפחות כל עוד נשארים עם המקרה הכללי).