פיסיקה 2 - חישוב שדה מגנטי בגליל

[Mr.T]

השאלה:

את הפיתרון שלהם אני מבין והכל טוב.
מה שאני לא מבין למה אני לא מצליח לקבל את אותה התשובה גם בדרך הבאה - אני אסתכל על הגליל כאוסף של טבעות (אחת בתוך השניה) כאשר כל אחת נושאת זרם I כלשהו (הזרם משתנה לפי הרדיוס) ואז אני אעשה אינטגרל על השדה שכל אחת מהם מייצרת ולפי מה שאני מבין אני אמור לקבל את אותו הדבר.
הזרם ברדיוס r (עבור עובי אינפטיסימלי כלשהו, לא משנה כי מדברים עבור שד"מ ליחידת אורך L):
http://www.codecogs.com/gif.latex?I%C2%AE=%5Crho%20%5Comega%20r%5CRightarrow%20I%C2%AE=%5Cbeta%20r%5E3%20%5Comega
כעת נחשב את השדה ע"י הנוסחא לחישוב שדה מגנטי במרכז טבעת שעובר בה זרם:
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Coverrightarrow%7BB%7D=%5Cfrac%7B%5Cmu%20_0I%7D%7B2R%7D%5CRightarrow%20%5Coverrightarrow%7BB%7D%C2%AE=%5Cfrac%7B%5Cmu%20_0%20%5Cbeta%20r%5E3%20%5Comega%7D%7B2r%7D=%5Cfrac%7B%5Cmu%20_0%20%5Cbeta%20r%5E2%20%5Comega%7D%7B2%7D%5CRightarrow%20B_%7B%5Ctext%7Btotal%7D%7D=%5Cint_%7B0%7D%5E%7Ba%7D%5Cfrac%7B%5Cmu%20_0%20%5Cbeta%20r%5E2%20%5Comega%7D%7B2%7D=%5Cfrac%7B%5Cmu%20_0%20%5Cbeta%20a%5E3%20%5Comega%7D%7B6%7D

אז מה אני מפספס?

[Paranoid]

אם אתה מחלק את הגליל לטבעות אתה צריך לעשות אינטגרל כפול כי אתה צריך גם לחלק את הגליל לעובי (כלומר לאורך הרדיוס שלו) וגם לאורך (האינסופי).

כלומר או שאתה סוכם טבעות כדי לקבל את השדה שיוצרת דיסקה (אינטגרל ראשון) ואז עושה על זה אינטגרל כדי לקבל גליל מלא, או שאתה מחשב את השדה של גליל חלול (אינטגרל ראשון) ואז על זה אינטגרל כדי לקבל גליל מלא.