אלגברה 1מ' - ע"ע וו"ע

[guyl44]

שלום לכולם

 

נתקעתי עם בעיית "הוכח או הפרך" שלא נראית מסובכת מדי, אבל כנראה שהיא כן, או שאני מפספס משהו.

השאלה היא חלק מש"ב באלגברה 1מ' בנושא ערכים עצמיים.

 

אם http://www.codecogs.com/gif.latex?%7Bv_1,v_2,...,v_n%7D הם http://www.codecogs.com/gif.latex?n וקטורים ב-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cmathbb%7BR%7D%5En, ולכל http://www.codecogs.com/gif.latex?v_i http://www.codecogs.com/gif.latex?(i=1,2,...,n), סכום הקואורדינטות של http://www.codecogs.com/gif.latex?v_i הוא אפס, אז http://www.codecogs.com/gif.latex?v_1,v_2,...,v_n תלויים ליניארית.

 

אני חושב שכל הטריק פה הוא להשתמש במטריצה ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?%7Bv_1,...,v_n%7D הם וקטורים עצמיים שלה. כי אם למטריצה http://www.codecogs.com/gif.latex?n%5Ctimes%20n יש http://www.codecogs.com/gif.latex?n ו"ע בת"ל, היא לכסינה. חשבתי להראות שלא קיימת מטריצה לכסינה כזאת. אבל השאלה היא אם בכלל אפשרי להגדיר דבר כזה, שהוקטורים הנתונים מהווים ו"ע של מטריצה אחת?

 

כל עזרה תתקבל בברכה.

[incog]

תסתכל על המטריצה שבה השורה ה-i היא הווקטור v_i
כעת תסתכל על הטורים, אם תחבר לטור האחרון את כל יתר הטורים תקבל עמודה שכולה אפסים (מהנתון).
לכן מימד מרחב העמודות קטן מ-n, אבל אתה יודע שמימד מרחב העמודות שווה למימד מרחב השורות, לכן גם קבוצת הווקטורים הזו היא תלויה לינארית.

[guyl44]

אלגנטי ביותר. תודה!