שאלה באלגברה 1מ' - העתקות ליניאריות

[guyl44]

אהלן לכולם

 

יש לי שאלה די עקרונית בנושא טרנספורמציה ליניארית;

 

אם נתון אופרטור http://www.codecogs.com/gif.latex?T:%20V%5Clongrightarrow%20V לא חח"ע ולא על, ושואלים:

האם קיים http://www.codecogs.com/gif.latex?n טבעי כך ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?T%5E%7Bn%7D חח"ע?

 

ההנחה שלי היא כמובן שלא, כי http://www.codecogs.com/gif.latex?T%5E%7Bn%7D זה בעצם http://www.codecogs.com/gif.latex?T(T(v)), פשוט http://www.codecogs.com/gif.latex?n פעמים.

ואם ההפעלה הראשונה של http://www.codecogs.com/gif.latex?T שונה מאפס, אז כל האחרות גם יהיו שונות מאפס

 

כל הנושא הזה קצת מבלבל אותי, אז אשמח אם למישהו יהיה הסבר

 

תודה!

[incog]

שים לב ש: kerT מוכל ב-kerT^n

כמו כן T חח"ע אמ"מ הגרעין שווה לאפס....

[guyl44]

כמו שחשבתי. בעצם, אם kerT עצמו שונה מאפס, לא ייתכן מצב שבו הפעלת T מספר פעמים תתן גרעין אפס.

תודה רבה.

 

יש לי עוד שאלה באותו נושא, האמת. יותר ספציפית:

 

יש למצוא T אופרטור ב-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7B3%7D, כך ש-

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?ker(T)=%5Clbrace(%5Calpha,-%5Calpha,%5Cbeta)%7C%5Calpha,%20%5Cbeta%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%5Crbrace

 

וכן, ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?Im(T)%5Csubset%20ker(T)

 

 

אני לא יודע איך לגשת לשאלה הזאת. זאת אומרת, אני מבין שכל וקטור ב-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7B3%7D מהצורה שנתונה ייתן אפס כי הוא שייך לגרעין.

איך אני יוצר מצב שהתמונה מוכלת בגרעין? צריך ליצור מצב שהפעלת T על וקטור כלשהו ייתן את הבסיס של הגרעין? או חלק ממנו?

 

תודה לכל מי שיכול לעזור.

[incog]

איך מגדירים ט"ל על R^3? פשוט מאוד, בוחרים 3 וקטורים ב"ת v_1,v_2,v_3, בוחרים עוד 3 וקטורים כלשהם w_1,w_2,w_3 
ומגדירים: T(v_i)=W_i   (ומרחיבים באופן לינארי על כל המרחב).

 

כעת נתונים לך שני וקטורים ב"ת שרוצים שהם יהיו בגרעין: 

(1,-1,0) and (0,0,1) 

אז כדי להגדיר ט"ל אתה צריך כמו שאמרנו להשלים אותם לבסיס (נניח תיקח את הווקטור (0,1,0)) וכעת לאן אתה שולח אותם?
אז את שני הראשונים אתה שולח לאפס (על מנת שיהיו בגרעין) ואת השלישי מכיוון שאתה רוצה שהתמונה תהיה מוכלת בגרעין אתה יכול נניח לשלוח ל- (0,0,1)

[guyl44]

הסבר מעולה. תודה רבה!!!