חדו"א 1 גבולות..

[Hela]

איך אני מוצאת את הגבולות לפונקציות האלה? .. לראשונה אני רציתי לעשות לפי סנדוויץ ולתחום את זה בין http://www.codecogs.com/gif.latex?e%5Ex-1/x הכול בחזקת http://www.codecogs.com/gif.latex?k ובין http://www.codecogs.com/gif.latex?e%5Ekx-1/x הכול בחזקת http://www.codecogs.com/gif.latex?k ולפי לופיטל מגיעים לכך ש זה בין http://www.codecogs.com/gif.latex?1%5Ek ובין http://www.codecogs.com/gif.latex?k%5Ek אבל ככה לא יתאפשר כלל הסנדוויץ ...

 

ובשנייה אני אומרת שקודם כול כאשר http://www.codecogs.com/gif.latex?a הפונקציה הזאת היא http://www.codecogs.com/gif.latex?ln(x) חלקי http://www.codecogs.com/gif.latex?1/x%5Ea ואז יש לנו בעיה של "אינסוף חלקי אינסוף" ואפשר להשתמש בלופיטל ולגזור ולקבל שהגבול הוא 0 וכאשר http://www.codecogs.com/gif.latex?a אז זה אינסוף כפול אינסוף שזה אינסוף וכאשר http://www.codecogs.com/gif.latex?a=0 אז הפונקציה היא http://www.codecogs.com/gif.latex?ln(x) וכאשר איקס שואף לאפס פלוס היא שואפת למינוס אינסוף. אבל אני לא בטוחה לגבי איך שאמרתי ..

 

תודה ..

[LmdL]

בראשון לדעתי אפשר לעשות ככה:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cmathop%20%7B%5Clim%20%7D%5Climits_%7Bx%20%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7B%7B%5Cleft(%20%7Be%5Ex%C2%A0%20-%201%7D%20%5Cright)%5Cleft(%20%7Be%5Ex%C2%A0%20-%201%7D%20%5Cright)%20%5Ccdot%20...%20%5Ccdot%20%5Cleft(%20%7Be%5E%7Bkx%7D%C2%A0%20-%201%7D%20%5Cright)%7D%7D%7B%7Bx%5Ek%20%7D%7D%20=

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%20=%20%5Cmathop%20%7B%5Clim%20%7D%5Climits_%7Bx%20%5Cto%200%7D%20%5Cleft%5B%20%7B%5Cfrac%7B%7B%5Cleft(%20%7Be%5Ex%C2%A0%20-%201%7D%20%5Cright)%7D%7D%7Bx%7D%5Cfrac%7B%7B%5Cleft(%20%7Be%5E%7B2x%7D%C2%A0%20-%201%7D%20%5Cright)%7D%7D%7Bx%7D%20%5Ccdot%20...%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B%7B%5Cleft(%20%7Be%5E%7Bkx%7D%C2%A0%20-%201%7D%20%5Cright)%7D%7D%7Bx%7D%7D%20%5Cright%5D%20=

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%20=%20%5Cleft(%20%7B%5Cmathop%20%7B%5Clim%20%7D%5Climits_%7Bx%20%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7B%7B%5Cleft(%20%7Be%5Ex%C2%A0%20-%201%7D%20%5Cright)%7D%7D%7Bx%7D%7D%20%5Cright)%5Cleft(%20%7B%5Cmathop%20%7B%5Clim%20%7D%5Climits_%7Bx%20%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7B%7B%5Cleft(%20%7Be%5E%7B2x%7D%C2%A0%20-%201%7D%20%5Cright)%7D%7D%7Bx%7D%7D%20%5Cright)%20%5Ccdot%20...%20%5Ccdot%20%5Cleft(%20%7B%5Cmathop%20%7B%5Clim%20%7D%5Climits_%7Bx%20%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7B%7B%5Cleft(%20%7Be%5E%7Bkx%7D%C2%A0%20-%201%7D%20%5Cright)%7D%7D%7Bx%7D%7D%20%5Cright)%20=

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%20=%20%5Cleft(%20%7B%5Cmathop%20%7B%5Clim%20%7D%5Climits_%7Bx%20%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7B%7Be%5Ex%20%7D%7D%7B1%7D%7D%20%5Cright)%5Cleft(%20%7B%5Cmathop%20%7B%5Clim%20%7D%5Climits_%7Bx%20%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7B%7B2e%5E%7B2x%7D%20%7D%7D%7B1%7D%7D%20%5Cright)%20%5Ccdot%20...%20%5Ccdot%20%5Cleft(%20%7B%5Cmathop%20%7B%5Clim%20%7D%5Climits_%7Bx%20%5Cto%200%7D%20%5Cfrac%7B%7Bke%5E%7Bkx%7D%20%7D%7D%7B1%7D%7D%20%5Cright)%20=

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%20=%20%5Cleft(%201%20%5Cright)%5Cleft(%202%20%5Cright)%20%5Ccdot%20...%20%5Ccdot%20%5Cleft(%20k%20%5Cright)%20=%20k!

 

כאשר במעבר משורה 3 לשורה 4 עשיתי לופיטל בתוך כל אחד מהסוגריים.

 

 

 

שאלה שנייה: עבור http://www.codecogs.com/gif.latex?a את מקבלת:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cmathop%20%7B%5Clim%20%7D%5Climits_%7Bx%20%5Cto%200%5E%20+%C2%A0%20%7D%20%5Cfrac%7B%7B%5Cln%20(x)%7D%7D%7B%7Bx%5Ea%20%7D%7D%20=%C2%A0%20-%20%5Cinfty

 

עבור http://www.codecogs.com/gif.latex?a את מקבלת:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cmathop%20%7B%5Clim%20%7D%5Climits_%7Bx%20%5Cto%200%5E%20+%C2%A0%20%7D%20x%5Ea%20%5Cln%20(x)%20=%20%5Cmathop%20%7B%5Clim%20%7D%5Climits_%7Bx%20%5Cto%200%5E%20+%C2%A0%20%7D%20%5Cfrac%7B%7B%5Cln%20(x)%7D%7D%7B%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B%7Bx%5Ea%20%7D%7D%7D%7D%20=%20l'Hopital%20=

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%20=%20%5Cmathop%20%7B%5Clim%20%7D%5Climits_%7Bx%20%5Cto%200%5E%20+%C2%A0%20%7D%20%5Cfrac%7B%7B1/x%7D%7D%7B%7B%5Cfrac%7B%7B%20-%20a%7D%7D%7B%7Bx%5E%7Ba%20+%201%7D%20%7D%7D%7D%7D%20=%20%5Cmathop%20%7B%5Clim%20%7D%5Climits_%7Bx%20%5Cto%200%5E%20+%C2%A0%20%7D%20%5Cfrac%7B%7Bx%5E%7Ba%20+%201%7D%20%7D%7D%7B%7B%20-%20ax%7D%7D%20=%20%5Cmathop%20%7B%5Clim%20%7D%5Climits_%7Bx%20%5Cto%200%5E%20+%C2%A0%20%7D%20%5Cfrac%7B%7Bx%5Ea%20%7D%7D%7B%7B%20-%20a%7D%7D%20=%200

 

עבור http://www.codecogs.com/gif.latex?a=0 זה כמובן מינוס אינסוף.