גבולות של פונקציות - חדו"א 1מ'

[guyl44]

שלום לכולם

 

יש לי שאלה במתנט שאני תקוע עליה כבר יומיים. שאלה של מציאת גבולות של 4 פונקציות, חלקן פשוטות יותר וחלקן...  8-[

 

http://img842.imageshack.us/img842/2271/q12u.png

 

1. ברור שצריך להעביר לצורה [jstex](1+\frac{1}{h})^h[/jstex], אבל אחרי פיתוח כזה מקבלים:

 

[jstex]e(1+\frac{1}{2x^2+x+\frac{8}{x}})^{-x^2-x}[/jstex]

איך ממשיכים מכאן?

 

2. נתקעתי פה מבחינה אלגברית. אולי סתם כאב ראש מהסעיף הראשון, אני אנסה אח"כ.

 

3. אותו הדבר כמו 1. פיתחתי וקיבלתי:

 

[jstex]e(1+\frac{1}{2x^4+x^2+8})^{6x^4-x^2+2x-7}[/jstex]

???

 

4. יש צדיק בסדום. שאלה פשוט יחסית, [jstex]e^2[/jstex] הוא הגבול.

 

כל סוג של עזרה תהיה מבורכת!

[radagast]

בד"כ בשאלות כאלו הפתרון הוא לאנוס צורה של [jstex]e^x[/jstex]. אם קיבלת משהו מהצורה [jstex]\left(1+\frac{1}{f(x)}\right)^{g(x)}[/jstex]

אז פשוט תעלה את הביטוי הפנימי בחזקת f ושוב בחזקת f^-1 ואז תראה מה תקבל במעריך פרט לצורה של ה-e^x.

[guyl44]

גם את זה ניסיתי, קיבלתי משהו מהצורה:

 

[jstex][(1+\frac{1}{f(x)})^{f(x)}]^\frac{g(x)}{f(x)}[/jstex]

 

השתמשתי בחילוק פולינומים כדי למצוא את המעריך החדש, וקיבלתי שהביטוי כולו הוא:

 

[jstex]e^{\frac{1}{2}+\frac{\frac{-x^2}{2}+4}{2x^2+x+\frac{8}{x}}}[/jstex]

[radagast]

אתה לא צריך להשתמש בחילוק פולינומים, מרגע שאתה מקבל שם ביטוי, אתה יכול לשאול מה קורה כאשר x הולך וגדל לאינסוף. מהרציפות של הפונקציות נובע שאם הגבול של המעריך קיים וסופי, אז הגבול של כל הביטוי הוא בדיוק e^0.5 בגובה אותו גבול.

[guyl44]

אוקיי, הבנתי, תודה רבה!!

 

הגבול הראשון קיבלתי ששווה לשורש e, והגבול השלישי שווה ל-[jstex]e^4[/jstex].