התכנסות במידה שווה של פונקציות

[מנוי]

בספר הלימוד נתונה הדוגמא הבאה עבוד פונקציה שמתכנסת לאפס לכל X, אך מתכנסת במידה שווה אמ"מ הסדרהhttp://www.codecogs.com/gif.latex?%5Calpha%C2%A0_n  מתכנסת לאפס. אני לא מבין למה בשביל הדוגמא הזאת הם היו צריכים לחלק את התחום של ערכי X ל3 תחומים. האם לא היה מספיק לחלק את התחום עבור ערכי איקס כך: http://www.codecogs.com/gif.latex?0 וכל היתר, למה צריך גם תחום שלישי?

 

http://i.imgur.com/Lq35wZf.png

[אודי]

לא הבנתי. אתה מדבר על להישאר עם התחום הראשון והשני או עם התחום הראשון והשלישי?

:scratch:

 

שניהם לא עובדים.

אם אתה נשאר עם התחום הראשון והשלישי סדרת הפונקציות שלך לא רציפה; אם אתה נשאר עם התחום הראשון והשני אז מה שקורה בגבול http://www.codecogs.com/gif.latex?n%20%5Crightarrow%20%5Cinfty הוא ששני התחומים הולכים לנקודה (x=0) שמסביבה הפונקצייה לא מוגדרת.

 

או שהתכוונת למתוח את התחום השני עד אינסוף? גם במקרה הזה יש בעיות.

[מנוי]

יכול להיות שאני לא מבין את הדוגמא אם כך. נניח שאלפא זאת סדרת מספרים ששואפת לאינסוף, מדוע תהיה התכנסות נקודות עבור כל X?

[אודי]

א. לזכרוני http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Calpha_n אמור לייצג סדרת סופרמומים של הפונקציה הרציפה http://www.codecogs.com/gif.latex?%7Cf_n(x)%7C בקטע. אם המקסימום שואף לאינסוף אז זה אומר שבגבול הזה סדרת הפונקציות כבר לא רציפה בקטע. אני לא חושב שהטענה התיימרה להתייחס לסדרת פונקציות כזו. דרישת בסיס של כל הדיון בנושא התכנסות נקודתית בקטע היא שסדרת הפונקציות תהיה רציפה שם.

 

ב. כש-n שואף לאינסוף שני התחומים הראשונים של סדרת הפונקציות שואפים לנקודה x=0. כך שאם יש בעייה כלשהיא בהתכנסות הנקודתית בגבול הזה, היא רק בנקודה הזו. על שאר הישר הפונקצייה שייכת לקטע השלישי והיא מתאפסת בו זהותית.

[radagast]

עד כמה שאני רואה, הפונקציה היא מעין משולש שהולך ונהיה צר ככל ש-n גדל, כך שעבור כל נקודה, עבור n מספיק גדול נקבל 0 (התכנסות נקודתית) אך הסופרמום של ההפרש תמיד ישאר an כי המשולש ישאר באותו גובה לכל n.

אני חושב שזה היה מתקיים גם אם המשולש היה נקטע וקופץ מיידית ל-0, כלומר אם היו מוותרים על התחום האמצעי וקובעים אותו ל-0. או שאני טועה, או שיכול להיות שהם פשוט רצו להשתמש בפונקציה אלגנטית ורציפה לצורך הדוגמא.