מד"ר

[מנוי]

האם פתרון מד"ר הבאה חסום על ידי הישר y=0:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7By%5E2-1%7D%7By%7D*sin(x%5E3)=%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D

נקודת ההתחלה http://www.codecogs.com/gif.latex?y(0)=-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D

 

כי מצד אחד, ככול שהפיתרון יתקרב לישר הזה, שיפוע הפיתרון יתקרב לאינסוף. 

מצד שני, אם שיפוע הפיתרון יתקרב לאינסוף לא יכול להיות שהוא חסום ע"י ישר אופקי כלשהו.

[אודי]

הכיוון שאתה הולך אליו לא נראה לי פרודוקטיבי. לפי המבנה זו נראית לי כמו שאלה של משפט קיום ויחידות.

אתה בטוח שזה הישר y=0? כי הישרים y=1 ו-y=-1 הם פתרונות של המשוואה והפתרון שלך לא יכול לחתוך אותם כי בסביבתם מתקיימים דרישות משפט קיום ויחידות

[מנוי]

 

הכיוון שאתה הולך אליו לא נראה לי פרודוקטיבי. לפי המבנה זו נראית לי כמו שאלה של משפט קיום ויחידות.

אתה בטוח שזה הישר y=0? כי הישרים y=1 ו-y=-1 הם פתרונות של המשוואה והפתרון שלך לא יכול לחתוך אותם כי בסביבתם מתקיימים דרישות משפט קיום ויחידות

 

ומה תגיד על המד"ר : http://www.codecogs.com/gif.latex?%20-%5Cfrac%7Bx%7D%7By%7D=%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D

עם נקודת ההתחלה http://www.codecogs.com/gif.latex?y(1)=2 .

 

קל לראות שפיתרון המד"ר הזה מוגבל על ידי הישר y=0.

 

לי נראה שגם במקרה זה המצב זהה.לא?

[אודי]

קל לראות כי המשוואה פתירה אנליטית, לא מהשיקול שהפעלת.

 

אם יותר לי לשאול, מאיפה השאלה?

[מנוי]

קל לראות כי המשוואה פתירה אנליטית, לא מהשיקול שהפעלת.

 

אם יותר לי לשאול, מאיפה השאלה?

מש.ב במד"ר:http://i.imgur.com/AoZcDT0.png

 

 

 

כן, המשוואה פתירה אנליטית.

נתתי לך דוגמא למשוואה דומה שבה החסם הוא y=0.

[אודי]

קל לראות משיקולי קיום ויחידות שהפתרון חסום בין הישרים y=1 ו-y=-1 וקשה לומר משהו קונקרטי על הישר y=0.

[אודי]

לגבי התבדרות הנגזרת, היא לא אומרת שום דבר לגבי השאלה אם הפתרון חוצה את הישר או לא.

 

ראינו מקרה שבו הישר y=0 לא נחצה, אבל למשל עבור המשוואה

 

 http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7By%5E2%7D=y'%5E2

 

עם נקודת ההתחלה

http://www.codecogs.com/gif.latex?y(1)=2 .

 

הפתרון

http://www.codecogs.com/gif.latex?y=%5Csqrt%7B5-x%5E2%7D%20%7C%20x%5Cleq%5Csqrt%7B5%7D

http://www.codecogs.com/gif.latex?y=-%5Csqrt%7Bx%5E2-5%7D%20%7C%20x

 

מקיים את המשוואה, חוצה את y=0, רציף ומוגדר בנקודת החצייה http://www.codecogs.com/gif.latex?x=%5Csqrt%7B5%7D למרות שהנגזרת מתבדרת שם.

[אודי]

ובכל זאת, נראה לי שאתה אמור להניח ש-y=0 הוא סוף תחום ההגדרה במקרה הזה כי יש שם קפיצה אינסופית (?) בנגזרת ולכן הפתרון מוגדר באיזור שבו הוא שלילי. אבל ננסה להוכיח:

 

1. נניח שהפתרון הרציף שלנו חוצה ממש את y=0 בנקודה מסויימת, כלומר קיימת סביבה סופית שבה הוא חיובי. אזי בנקודת החצייה הנגזרת שלו צריכה להיות חיובית.

2. מכיוון שהמקדם http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7By%5E2-1%7D%7By%7D חיובי עבור ערכי y שליליים ושואף לאינסוף עבור http://www.codecogs.com/gif.latex?y%5Crightarrow0_-, נובע שגם הסינוס מקבל ערך חיובי בנקודת החצייה.

3. אבל סינוס היא פונקציה רציפה, ולכן אם היא מקבלת ערך חיובי בנקודת החצייה חייב להיות לה ערך חיובי בסביבה קטנה וסופית של נקודת החצייה. מאידך, המקדם מחליף סימן אחרי החצייה ומקבל ערכים שליליים מאוד ושואפים למינוס אינסוף בקרבת נקודת החצייה.

3. נובע שקיימת סביבה סופית מימין לנקודת החצייה, החל מנקודת החצייה שבה הפתרון נשאר חיובי למרות שהנגזרת שלילית (ושואפת למינוס אינסוף) מנקודת החצייה. זה לא יכול להיות.

4. מכאן לא ייתכן שהפתרון יחצה את y=0.

[אודי]

5. המקרה הבודד שלא פסלנו הוא שהסינוס מחליף סימן באותה נקודה שבה הפונקציה מחליפה סימן, ואז הנגזרת נשארת חיובית. הוא פשוט שואף לאפס לאט יותר מאשר המקדם שואף לאינסוף. אני לא לגמרי בטוח איך מתמודדים איתו.

[מנוי]

תודה רבה!