אלמנט נפח של חרוט

[אודי ב]

בהמשך למשהו ששאלתי כאן לפני כן.

נתון החרוט שבתמונה.

בספר אמרו ששטח המעטפת של האלמנט הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?A=2%5Cpi%20%5Csin%20x%20dx

מהו הנפח של האלמנט?

[אודי]

משהו לא בסדר בנוסחה שלך מכיוון ש-x הוא לא זווית.

בכל מקרה, פותרים באותו אופן בדיוק שבו חשבנו את הנפח של הפרוסה מהכדור.

יש לך גליל אינפיטיסמלי שהרדיוס של הבסיס שלו הוא

http://www.codecogs.com/gif.latex?r=x%5Csin%20%5Ctheta

והגובה שלו הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?h=dx%20%5Ccos%20%5Ctheta (אי אפשר לקחת את היתר dx כגובה, כי שמשאיפים את גודל הגליל לאפס הוא בכלל מקביל לבסיסים).

לכן הנפח הוא

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?dV=%20%5Cpi%20r%5E2%20h%20=%20%5Cpi%20x%5E2%20%5Csin%5E2%20%5Ctheta%20%5Ccos%20%5Ctheta%20dx

 

...וזה נותן את התוצאה הנכונה לנפח כל החרוט אם אתה עושה אינטגרציה עבור x בין 0 ל-L ומציב

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Csin%20%5Ctheta%20=%20%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7D

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ccos%20%5Ctheta%20=%20%5Cfrac%7BH%7D%7BL%7D

 

כאשר R הוא רדיוס הבסיס ו-H הגובה.