חדוא 1-נגזרות

[מנוי]

נניח F היא פונקציה מונוטונית עולה,חסומה וגזירה של X.

איך ניתן להוכיח ש 'F(נגזרת של F) מתכנסת לאפס כאשר X שואף לאינסוף?

[אודי]

איך חזרנו לחדו"א 1?

  :scratch:

 

אם http://www.codecogs.com/gif.latex?F' מונוטונית עולה ורציפה הנגזרת שלה יכולה להיות חיובית או אפס על כל הישר. לכן יש שלוש אפשרויות לגבול באינסוף:

- קבוע חיובי

- אין גבול (מתנדנד בין קבוע חיובי לאפס, או רק על התחום החיובי)

- אפס

 

קל לראות שהמקרה הראשון לא ייתכן עבור פונקציה חסומה. נסמן את הגבול החיובי באינסוף ב-L. אזי מהגדרת הגבול נובע קיים ערך סופי כלשהוא של x שעבורו (וממנו והלאה)

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?f'(x_0)

 

מכיוון ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?%7Cf'(x_0)-L%7C עבור http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvarepsilon כלשהוא. אבל מזה נובע

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?f(%5Cinfty)=f(x_0)+%5Cintop_%7Bx_0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Df'(x)%5C,dx%20

 

בסתירה לכך שהפונקצייה חסומה.

אם אתה מעדיף לעבוד עם אינטגרלים סופיים, אפשר להראות באותו אופן שהפונקציה חייבת לחצות את החסם העליון M החל מהנקודה http://www.codecogs.com/gif.latex?x_0+%5Cfrac%7BM-f(x_0)%7D%7BL-%5Cvarepsilon%7D

 

המקרה השני בעייתי יותר להפרכה, אבל בעיקרון אם אין גבול והנגזרת רציפה אמורים להיות אינסוף קטעים סופיים (לא נקודתיים) שבהם הנגזרת חיובית.

נבחר עבור כל קטע חסם חיובי כך שנוצר תת קטע שבו הנגזרת גדולה או שווה מהחסם החיובי (קל לעשות את זה באמצעות האלגוריתם הבא - נניח שהמקסימום של הנגזרת בקטע מסויים שבו הנגזרת חיובית הוא M. אזי קיים תת קטע סופי שבו הנגזרת גדולה מ-M/2).

קבלנו אינסוף תת קטעים שבהם הנגזרת חסומה מלמטה ע"י קבוע חיובי (שונה עבור כל קטע - סט של אינסוף קבועים חיוביים), ולכן הפונקצייה באינסוף גדולה מסכום האינטגרלים על החסמים בכל הקטעים האלו, שהוא אינסוף. כלומר שוב קבלנו סתירה לחסימות.

 

- מכאן המקרה השלישי חייב להיות נכון.

[מנוי]

אם http://www.codecogs.com/gif.latex?F' מונוטונית עולה ורציפה הנגזרת שלה יכולה להיות חיובית או אפס על כל הישר. לכן יש שלוש אפשרויות לגבול באינסוף:

- קבוע חיובי

- אין גבול (מתנדנד בין קבוע חיובי לאפס, או רק על התחום החיובי)

- אפס

לא אמרתי שום דבר לגבי רציפות הנגזרת מלבד היותה קיימת.

כנראה מה שאמרתי הוא לא נכון,וייתכן מצב שלנגזרת לא יהיה גבול באינסוף:

 

http://math.stackexchange.com/questions/621465/derivative-of-a-monotone-function-that-has-a-finite-limit-as-x-goes-to-infinity

[אודי]

להבנתי אם הפונקציה גזירה על כל הישר הנגזרת חייבת להיות רציפה.

אני חושב שהדוגמא הנגדית שנתנו שם פשוט לא טובה, כי באינסוף אי אפשר לומר שהפונקציה חלקה או רציפה. יש לה קפיצות בכל ערך שלם. אבל באמת אין לי כח וחשק להתווכח על זה.