שאלה על חשבון מודולרי

[bfs]

שלום,

 

אני צריך עזרה עם השאלה הבאה:

 

https://drive.google.com/file/d/0B59IeOJt02sOV204N05pZjhsVWM/view?usp=sharing

 

נתקעתי בסעיפים ג ו-ד.

 

ולגבי סעיף ב, רציתי לדעת אם אני מגיע לביטוי הבא:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E%7B3%7D%5Cequiv%20y%5E%7B3%7D%20(mod%C2%A0%203)

 

אז האם  מותר לי להשתמש בסעיף א, ולהגיע לביטוי המבוקש:

http://www.codecogs.com/gif.latex?x%20%5Cequiv%20y%20(mod%C2%A0%203)

 

אשמח לעזרה, תודה.

[אודי]

ג' - ההוכחה נבנית על הסעיפים הקודמים. כמו כל השאלה. מותר לך להעזר בסעיף א' בהוכחת ב'.

 

1. קודם כל, מ-http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E3-y%5E3=3%5Em נובע http://www.codecogs.com/gif.latex?x. נניח בשלילה ששלוש לא מחלק את x. אזי http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5C,%20(mod%20%5C,%203)=k כאשר k=1/2.

 

2. מהתוצאה הזו, מהנתון וסעיפים א' וב' נובע ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E3%20%5Cequiv%20y%5E3%20(mod%5C,%203)=k, כלומר ניתן לכתוב את http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E3  ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?y%5E3  כ:

http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E3=3%5Ep+k

http://www.codecogs.com/gif.latex?y%5E3=3%5Eq+k

מכיוון שכאמור http://www.codecogs.com/gif.latex?x, צריך להתקיים http://www.codecogs.com/gif.latex?p.

 

3. אבל מסעיף 2 נובע ש:

http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E3-y%5E3=3%5Ep+k-3%5Eq-k=3%5E%7Bq%7D(3%5E%7Bp-q%7D-1)

כלומר קבלנו ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E3-y%5E3 אינו חזקה של שלוש (כי הוא מכיל גורם שאינו חזקה של שלוש, http://www.codecogs.com/gif.latex?3%5E%7Bp-q%7D-1), בסתירה לנתון. מכאן שההנחה שהנחנו לא נכונה ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?3%7Cx.

 

4. אם http://www.codecogs.com/gif.latex?3%7Cx נובע מייד ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?3%7Cy (כי לפי סעיף ב' והנתון http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5Cequiv%20y%5C,%20(mod%5C,3)).

[602]

לגבי ב', למה שלא תוכל להשתמש? הוכחת שלכל מספר טבעי http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5Cin%5Cmathbb%7BN%7D מתקיים http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E3=x(mod3), וכאן תוכל פשוט להשתמש בזה פעמיים.

 

לגבי ד':

הוכחנו שאם המשוואה מתקיימת אז http://www.codecogs.com/gif.latex?3%7Cx. לכן כמובן http://www.codecogs.com/gif.latex?27%7Cx%5E3. באותו אופן נראה כי http://www.codecogs.com/gif.latex?27%7Cy%5E3.

עכשיו אפשר לחלק את שני האגפים ב-27, וסיימנו.

(צריך אולי להשלים כמה פרטים טריויאליים)

[אודי]

ד'. אם קיים פתרון למשוואה, בפרט קיים פתרון מינימלי:

http://www.codecogs.com/gif.latex?x_%7Bmin%7D%5E3=3%5Em+y_%7Bmin%7D%5E3

אנחנו יודעים מסעיף ג' שאם השוויון הזה נכון אזי http://www.codecogs.com/gif.latex?3%7Cx_%7Bmin%7D ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?3%7Cy_%7Bmin%7D.

 

אבל קל לראות שמהשוויון נובע כי:

http://www.codecogs.com/gif.latex?(%5Cfrac%7Bx_%7Bmin%7D%7D%7B3%7D)%5E3=(3%5E%7Bm-1%7D+%5Cfrac%7By_%7Bmin%7D%7D%7B3%7D)%5E3

 

ומכיוון ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bx_%7Bmin%7D%7D%7B3%7D ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7By_%7Bmin%7D%7D%7B3%7D הם מספרים טבעיים (כי http://www.codecogs.com/gif.latex?3%7Cx_%7Bmin%7D ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?3%7Cy_%7Bmin%7D) קבלנו שיש פתרון קטן יותר מהפתרון המינימלי, בסתירה להנחה. מכאן לא קיים פתרון.

[bfs]

רציתי לדעת איך הגעת בהוכחה של סעיף ג ש-k=0.5 (למרות שאני לא חושב שזה באמת חשוב להוכחה) ?

 

ושאלה נוספת, אם נתונה לי המשוואה הבאה http://www.codecogs.com/gif.latex?(x-y)%20(x+y)%20=%201%20*17  ואני מחפש פתרונות רק ב- http://www.codecogs.com/gif.latex?N%5E%7B+%7D.

אז מצד אחד מקבלים את הפתרון השלם הבא: x=9 ו -y=8, אך מצד שני אני יכול להגיע (בין היתר) גם ל -

http://www.codecogs.com/gif.latex?x=t%C2%A0%20%5C:%5C:%20t%20%5Cin%20R%C2%A0

http://www.codecogs.com/gif.latex?y=%20%5Csqrt%7B%20t%5E%7B2%7D%20-17%20%7D

כאשר :  http://www.codecogs.com/gif.latex?%20t%5E%7B2%7D%20%5Cgeq%2017

 

אז איך אני יכול לדעת האם ישנן עוד פתרונות שלמים "שמתחבאים" תחת צורת הפיתרון השנייה ?

 

[אודי]

k=1 או k=2. לא חצי. זו הייתה הכוונה של מה שכתבתי (k=1/2). אלו השאריות האפשריות ב-mod 3.

 

למערכת המשוואות הליניארית

x+y=17

x-y=1

יש רק פתרון אחד ל-x ו-y.

 

אם אתה מניח שקיים פתרון טבעי נוסף למשוואה המקורית (http://www.codecogs.com/gif.latex?(x+y)(x-y)=17) ששונה מהצמד 8 ו-9, נובע שקיימת מערכת משוואות נוספת 

x+y=a

x-y=b

כאשר x,y טבעיים ולכן a,b טבעיים (ושונים מ-17 ו-1).

נובע של-17 יש פירוק לגורמים טבעיים a,b ששונים מ-17 ו-1, מה שלא יכול להיות כי 17 הוא מספר ראשוני.

 

אגב, זו לא שאלה על חשבון מודולורי

[bfs]

אמנם עבר הרבה זמן, אבל אני חייב לפתוח שוב את הנושא.

 

את ההוכחה של סעיף ג, החלטתי לפתור בדרך שהוצעה כאן, שלמען האמת הייתה ניראת לי נכונה, למרות שהיה לי קצת קשה להשתכנע לגבי החלק של:

http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E%7B3%7D%20=%203%5E%7Bp%7D+k

http://www.codecogs.com/gif.latex?y%5E%7B3%7D%20=%203%5E%7Bq%7D+k

 

מה שבטוח אני זוכר שהשתכנתי מאיזה שהיא סיבה שזה נכון (אני מבין שזה אמור להיות קשור לנתון איכשהו, אך אני לא מצליח לתת נימוק משכנע)

תרגיל זה היה סעיף  שהוא חלק מתרגיל בית, והבודק תרגילים לא נתן ניקוד על סעיף זה, בטענה שחלק זה (זה שדיברתי עליו קודם) איננו נכון.

לכן, הייתי רוצה להשתכנע בעצמי לגבי הנכונות של זה, וגם את הבודק (בהנחה שזה נכון).

 

אשמח לעזרה, תודה.

 

[אודי]

תקרא שוב את ה-Best Answer. ההסבר המדוייק מופיע שם, בסעיפים 1 ו-2.

אם משהו לא ברור בהסבר תשאל שאלה ספציפית על הקטע הלא ברור, אחרת אני לא רואה טעם לחזור על עצמי.

[bfs]

למה מותר לרשום את http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E%7B3%7D%20=%20y%5E%7B3%7D%20(mod%203)%20=%20k בצורה כזאת:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E%7B3%7D%20=%203%5E%7Bp%7D+k (*)

http://www.codecogs.com/gif.latex?y%5E%7B3%7D%20=%203%5E%7Bq%7D+k

 

ולא בצורה כזאת:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E%7B3%7D%20=%203*p+k%C2%A0
http://www.codecogs.com/gif.latex?y%5E%7B3%7D%20=%203*q+k%C2%A0

 

כלומר עפ"י איזה הגדרה/משפט מותר לי לרשום זאת בצורה כמו (*) ?

[אודי]

אתה יודע מה, נראה לי שהבודק צודק וזו הייתה טעות

8-[

שארית היא מכפולה של שלוש, לא מחזקה של שלוש. 

 

דוגמא לכך שהשארית לא מתאימה לפירוק לחזקה של 3:

http://www.codecogs.com/gif.latex?7=3*2+1

השארית היא 1 אבל המספר לא מתאים לביטוי כחזקה של 3 + השארית.

 

אני לא יודע מה לומר. מביך. אפשר לתקן את ההוכחה, אני מניח, אבל זה כבר לא יעזור לך.

[bfs]

לא נורא, פעם הבאה שאני לא מבין משהו, אני לא אתבייש לשאול, ככה נוכל למנוע ממקרים דומים לחזור שוב.

[אודי]

פעם הבאה שאני בטוח במשהו, אני לא אהיה בטוח