כמה שאלות במד"ר

[c.b.]

מתנצלת מראש על הכתיבה הלא ברורה.

שאלה ראשונה: 

http://i.imgur.com/wpa25kg.png

הצבתי v=y/x והגעתי ל- 

-y^2+2yx+x^2-K=0

ופתרונות משוואה ריבועית:

y(x)=x+sqrt(2x^2-K), y(x)=x-sqrt(2x^2-K)

בדרך התקבלו פתרונות סינגולריים:

y(x)=x, y(x)=(1+sqrt(2))x, y(x)=(1-sqrt(2))x

 

 

השאלה שלי היא ככה: 
בהתחלה חילקתי ב-x, זאת אומרת שהוא צריך להיות שונה -0. איך זה מסתדר עם תנאי ההתחלה? לפי המתרגלת צריך להשאיף את x ואת y ל-0 כדי לקבל את הפתרון. אם עושים זאת מקבלים שהקבוע K צריך להיות אפס ואז בעצם התקבלו 2 הפתרונות הסינגולריים.

אז מה הפתרון בסופו של דבר? 3 הפתרונות הסינגולריים שהתקבלו שמקימים את תנאי ההתחלה?

למה בכלל צריך להשאיף את x ו-y ל-0?

 

שאלה שנייה: 

המשוואה היא y'-y=y^3
הגעתי לפתרון:

y^(-2)=-1+ce^(-2x)   -->  y(x)=sqrt(e^2x/(c-e^2x))

האם אני צריכה לרשום פלוס-מינוס לפני השורש? 

 

שאלה שלישית:

http://i.imgur.com/qDRDRiJ.png

בסעיף א' הגעתי לפתרון:

y(x)=2arctan(1/(x+c))+x-5

לפי התנאי התחלה ה-arctan צריך להתאפס, אבל אין c שיאפס את הארגומנט שלו. בדרך הפתרון קיבלתי את הפתרון הסינגולרי y(x)=x-5 שמקיים את תנאי ההתחלה.
זה אומר שהפתרון הסינגולרי הוא הפתרון היחיד לבעיית ההתחלה או שאני מפספסת פה משהו?

תודה מראש ^^

[אודי]

1. השאלה המקורית חסרה, קשה לי לענות בלעדיה. שמת שם את השאלה של 3.

 

2. כן. זה נכון ללא תלות בסימן. אם אין לך תנאי התחלה כלשהוא הפתרון הכללי מכיל את שניהם.

 

3. כך זה נראה. אני לא רואה פספוס.

[c.b.]

אופס..
ערכתי עם השאלה הראשונה.

 

תודה רבה!

[אודי]

לגבי השאלה הראשונה -

 

לא ברור לי כל כך איך את מגיע מהצבת v למשוואה ריבועית ב-x ו-y בלי נגזרת, אבל יש לי הסבר לגבי השאלה.

 

חלקת את y ב-x. אם היינו הולכים לפי ההגדרות הנוקשות והמחמירות של התיכון, היינו דורשים ש-x צריך להיות שונה מאפס; מכיוון שתנאי ההתחלה רומז לך ש-x=0 הוא חלק מתחום ההגדרה של הפתרון, זה אומר שמספיק שהגבול y/x יהיה מוגדר באפס כדי שהפתרון ל-v עדיין יהיה תקין (או אם תרצי, הפתרון יכיל נקודת אי רציפות סליקה ב-x=0 שיהיה ניתן להחליף בערך של הגבול). מכיוון ש-y(0)=0 אין בעייה עקרונית שהגבול של v באפס יהיה קיים ומוגדר היטב.