קביעת סימן (חיובי/שלילי) של מומנט הכוח

[bfs]

רציתי לדעת איך בדיוק ניתן לקבוע מהו הסימן של המומנט כוח.

עפ"י מיטב, הזווית בין הכיוון של r והכיוון שלך F מוגדרת כך (כאשר r זה המרחק מנקודת הייחוס לנקודת הפעלת הכוח F):

הכיוון של r הוא מנקודת הייחוס (ציר הסיבוב) אל נקודת הפעלת הכוח.
והזווית נמדדת תמיד מ-r ל- F. כך שאם מ-r ל-F זזים בכיוון השעון זה מוגדר להיות מומנט שלילי, ואם נגד כיוון השעון זה מוגדר להיות חיובי.

הבעיה שאני נתקל בה, שבדרך הנ"ל אני לא תמיד מגיע לתשובה הנכונה בפתרון התרגילים.

 

הערה: אני מנסה למצוא שיטה כללית שתוכל להתאים לכל מצב, כי לא פעם רק אחרי ניסוי וטעייה אני מצליח להבין מה צריך להיות  סימן המומנט.

[אודי]

כלל יד ימין מכיר?

הבט על יד ימין שלך. מכיוון ש:

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BM%7D=%5Cvec%7Br%7D%5Ctimes%5Cvec%7BF%7D

 

אם r הוא וקטור שמצביע מנקודת הייחוס למיקום הגוף שלך, ניתן להתאים:

1. את r לכיוון שאליו מצביעה האצבע (השנייה מהאגודל) של יד ימין;

2. את F לכיוון שאליו מצביעה האמה (השלישית מהאגודל) של יד ימין, בתנאי שהיא מכופפת יותר מהאצבע (תצטרך להפוך את היד כדי להשיג את הקונפיגורציה המתאימה);

3. את M לכיוון שאליו מצביעה האגודל (מאונך לשתי האצבעות האחרות).

 

ניתן למקם את הכיוונים האלו ביחס למערכת צירים קרטזית ימנית (סטנדרטית) אם מתאימים את יד ימין:

1. הכיוון החיובי של ציר x בכיוון האצבע

2. הכיוון החיובי של ציר y בכיוון האמה, כאשר היא מכופפת יותר מהאצבע ומאונכת ביחס אליה

3. הכיוון החיובי של ציר z בכיוון האגודל (שמאונכת לשתי האצבעות האחרות).

 

אזי פעולה אחת עם יד ימין (נשמע מלוכלך אבל בכלל לא) תתן לך את כיוון המומנט ביחס לוקטורי המיקום והכוח; פעולה אחרת תאפשר לך לדעת את כיוון המומנט ביחס למערכת הצירים שלך, כל עוד תשמור על הזווית המתאימה בין כיווני הוקטורים בשני המקרים.

[אודי]

אני מנחש שאתה לא תמיד מקפיד לעבוד עם מערכת צירים בשלב הזה.

עדיין תוכל לדעת בעזרת כלל יד ימין אם יש לך מומנטים בכיוונים מנוגדים (סימנים הפוכים). האגודל תצביע לכיוון אחד כשתחשב מומנט אחד ולכיוון ההפוך כאשר תחשב מומנט אחר.

[bfs]

לא הצלחתי ליישם את ההסבר שלך (גם לפני כן ניסיתי להשתמש בכלל זה, ללא הצלחה מרובה).

אני מעדיף לנסות (כל עוד זה אפשרי) ליישם זאת בשיטה של דף ועט, וע"י כללים ברורים להבין את קביעת הסימן.

 

למשל עבור הדוגמא הבאה:

עבור הכוח fs שמטה, הייתי רוצה לנסות להבין איך אפשר לקבוע את הסימן מומנט הכוח שלו.

 

 

 

לעומת זאת, יש דוגמא אחרת (עם מערכת צירים שקובעה מעל הכוחות והזרועות):

 

 

הייתי רוצה להבין, האם המומנט של F2xR2 נקבע כחיובי בגלל שהכוח של F2 פונה לכיוון החיובי של ציר ה-z?

ובאופן דומה עבור F1xR1 הוא נקבע כשלילי בגלל הכיוון של F1 כלפי הכיוון השלילי של ציר ה-z?

 

אם לא, אז שוב אם תוכל להציג אולי הסבר פשוט ללא כלל יד ימין (כל עוד זה ניתן), ואם לא אז הייתי מעוניין עבור דוגמא זו (שיש שני מומנטים שמנוגדים בכיוונם) לנסות שוב ליישם את הכלל עבור כל אחד מהמקרים הנ"ל.

 

תודה

[אודי]

דוגמא.PNG

 

וקטור r מצביע מציר הסיבוב (מרכז הגלגל) למטה. אצבע ימין למטה.

וקטור F נוטה שמאלה. אמת ימין מכופפת ונוטה שמאלה.

יוצא שהאגודל, שהיא כיוון המומנט, נכנסת אל הדף.

 

אם תמקם מערכת צירים כך שכיוון ציר x החיובי הוא ימינה (אצבע ימינה) וכיוון ציר y החיובי למעלה (אמה למעלה) תראה שכיוון ציר z החיובי יוצא מן הדף, ולכן במערכת הצירים הזו המומנט של החיכוך הוא בכיוון z-.

 

 

לעומת זאת, יש דוגמא אחרת (עם מערכת צירים שקובעה מעל הכוחות והזרועות):

דוגמא 2.PNG

הייתי רוצה להבין, האם המומנט של F2xR2 נקבע כחיובי בגלל שהכוח של F2 פונה לכיוון החיובי של ציר ה-z?

ובאופן דומה עבור F1xR1 הוא נקבע כשלילי בגלל הכיוון של F1 כלפי הכיוון השלילי של ציר ה-z?

לא. שים לב שגם ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BF_1%7D וגם ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BF_2%7D אין רכיב z בכלל, כך שהם לא נוטים לכיוון החיובי או השלילי של הציר. הם וקטורים במישור xy.

אתה חייב להשתמש בוריאציה כלשהיא של כלל יד ימין כדי להבין מה כיוון המומנט.

 

עבור המומנט של http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BF_1%7D:

 

- http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BR_1%7D פונה כלפי מעלה (אצבע ימין למעלה).

- http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BF_1%7D פונה ימינה (אמה מכופפת ונוטה ימינה)

- יוצא שהאגודל נכנסת לדף, וממבט על מערכת הצירים המשורטט אנו מסיקים שכיוון המומנט http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BM_1%7D הוא z-.

 

עבור המומנט של http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BF_2%7D:

 

- http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BR_2%7D פונה שמאלה (אצבע ימין שמאלה).

- http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BF_2%7D פונה כלפי מטה (אמה מכופפת ונוטה כלפי מטה)

- יוצא שהאגודל יוצאת מהדף, וממבט על מערכת הצירים המשורטט אנו מסיקים שכיוון המומנט http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BM_2%7D הוא z+.

[bfs]

עבור הדוגמא הראשונה, אם אכן התכוונת לחישוב המומנט של fs ויצא לך סימן שלילי (בדיוק כמו שלי יצא), כאן אולי הבעיה.

בהנחה ומומנט בכיוון השעון מוגדר להיות שלילי ולהיפך כחיובי, אז מהיכן שלקחתי את הדוגמא, הסימון עבור המומנט הנ"ל יצא להם חיובי (תחת אותם הנחות של קביעת הסימן השלו).

מכאן אני חושב שאולי ישנן איזה שהן הנחות נוספות שאולי נלקחות בחשבון בחישוב המומנט, וזו הסיבה שיוצא לי לפעמים חישוב שגוי.

 

למשל הדוגמא הבאה:

 

 

בהנחה ואני מיישם את שיטת כלל יד ימין (עפ"י וריאציה שמצאתי שהיא הכי נוחה לי, שהצגתי אותה בתחילת הדיון הנ"ל), אני מקבל את הדבר הבא:

 

 

כאשר מה שסומן באדום וירוק אלו התוספות שהוספתי כדי לקבוע את המרחק r מציר הסיבוב לכיוון הפעלת כל אחד מהכוחות, ולאחר מכן סיבוב של r לכיוונו של F מכל אחד מן המקרים.

 

סכום המומנטים שיצא לי הינו:

 

fR-FR

 

ואילו התשובה בספר שממנו נלקחה הדוגמא היא בדיוק הפוך.

[אודי]

עבור הדוגמא הראשונה, אם אכן התכוונת לחישוב המומנט של fs ויצא לך סימן שלילי (בדיוק כמו שלי יצא), כאן אולי הבעיה.

בהנחה ומומנט בכיוון השעון מוגדר להיות שלילי ולהיפך כחיובי, אז מהיכן שלקחתי את הדוגמא, הסימון עבור המומנט הנ"ל יצא להם שלילי (תחת אותם הנחות של קביעת הסימן השלו).

אם לכולנו יצא מומנט בכיוון z-, איפה פה בדיוק הסתירה?

:scratch:

 

סכום המומנטים שיצא לי הינו:

 

fR-FR

 

ואילו התשובה בספר שממנו נלקחה הדוגמא היא בדיוק הפוך.

בלי לקבוע מערכת צירים צמודה לבעייה הזו אין שום משמעות להבדל בין http://www.codecogs.com/gif.latex?M_r-M ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?M-M_r.

אתה יכול לבחור מערכת צירים שבה הכיוון החיובי של ציר z נכנס לדף ומערכת צירים שבה הכיוון החיובי של ציר z יוצא מהדף.

בהתאם לכך, אחד המומנטים עשוי להיות בכיוון החיובי או השלילי של ציר z וסכום המומנטים בציר זה יהיה תוצאה אחת או התוצאה השנייה.

 

הכל תלוי בבחירת מערכת צירים.

 

שים לב, אגב, שאנחנו קובעים את הכיוונים של המומנטים באמצעות הסימן היחסי ביניהם כי אנחנו רוצים שהקבועים http://www.codecogs.com/gif.latex?M_r,%20M ייצגו את הגודל של הוקטורים (כלומר הם חיוביים).

[bfs]

תיקנתי, התכוונתי שיצא להם חיובי, למרות שזה לא משנה כמו שכבר כתבת.

הייתי רוצה לסכם את הדברים, הדוגמא האחרונה שהעלתי קודם, האם היא נכונה בהתאם להנחות שלי (לגבי כיוון השעון והכיוונים והסימנים)?

אם כן, עכשיו אני מנסה להבין למה הרבה פעמים התשובה שלי יוצאת לא נכונה, ולא מדובר רק על סימן הפוך בתוצאה הסופית, אלה בגלל הגדרת סימן המומנטים כשגוי כל התשובה שלי יוצאת אחרת ממה שצריך בחלק מהשאלות.

 

אולי אפשר להמחיש בדוגמא האחרונה על הדוגמא הקודמת, אם אני קובע את ציר ה-z בתוך הדף ככיוון החיובי, איך זה אמור להראות מבחינת השרטוט, ומבחינת התוצאה הסופית לאיזה תשובה זה יתאים (לזאת שאני קיבלתי, או לזאת שכתובה בספר) ?

[אודי]

הייתי רוצה לסכם את הדברים, הדוגמא האחרונה שהעלתי קודם, האם היא נכונה בהתאם להנחות שלי (לגבי כיוון השעון והכיוונים והסימנים)?

כן.

אולי אפשר להמחיש בדוגמא האחרונה על הדוגמא הקודמת, אם אני קובע את ציר ה-z בתוך הדף ככיוון החיובי, איך זה אמור להראות מבחינת השרטוט, ומבחינת התוצאה הסופית לאיזה תשובה זה יתאים (לזאת שאני קיבלתי, או לזאת שכתובה בספר) ?

בדוגמא האחרונה, כדי שכיוון ציר z החיובי יהיה נכנס לדף אתה צריך שכיוון ציר x החיובי יהיה שמאלה וכיוון ציר y החיובי יהיה כלפי מעלה.

אם קבענו את מערכת הצירים באופן הזה, סכום המומנטים, שהוא כולו בציר z, יוצא כמו בספר, http://www.codecogs.com/gif.latex?M-M_r, מכיוון שהמומנט של הכוח F נכנס לדף (עם כיוון השעון) והמומנט של החיכוך f יוצא מהדף (נגד כיוון השעון).

[bfs]

אבל עפ"י התשובה לתרשים הכוחות (לא המומנטים) שבספר, נראה שהם בחרו הם ציר ה-x החיובי בצד ימין

הנה זה נראה כך עבור הכוחות והמומנטים:

[אודי]

יכול להיות שיש טעות בספר.

יכול להיות שיש אי קונסיסטנטיות בין משוואת הכוחות למשוואת המומנטים שהם רושמים.

יכול להיות שהם בחרו משום מה לעבוד עם מערכת צירים שמאלית ולא ימנית, ואז הסימון שלהם קונסיסטנטי.

אני לא יכול לדעת מה הבחירה שהם עשו לגבי מערכות הצירים וכיצד הן נמקו אותה רק מהמשוואות עצמן.

 

כל עוד הם לא טועים בתשובה לגבי כיוון התאוצה (ימינה) וכיוון הסיבוב (עם כיוון השעון, לפי הבחירה שלהם), זה לא באמת משנה.

[bfs]

רגע אם באמת זה לא משנה, זה אומר שאם אני עובד לפי התוצאות שיצאו לי (ולא כמו שיצא להם בספר), אז למשל עבור השאלה: מהי תאוצת מרכז המסה (כאשר מומנט ההתמד הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7BMR%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D ׂ)? 

אני מקבל http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B4F%7D%7BM%7D ,  ואילו התשובה שלהם שונה מן הסתם והיא http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B4F%7D%7B3M%7D .

מה שאומר שהתשובה איננה יחידה, אלה תלויה בבחירת כיוון מערכת הצירים (אם הבנתי אותך נכון) ?

[אודי]

לא, זה לא מה שאמרתי. אמרתי שאפשר לנסח את המשוואות אחרת במערכות צירים שונות אבל זה לא אמור לשנות את התשובה (עד כדי סימן במקרה שהצירים הפוכים בכיוון).

 

אם יש הבדל בגודל התשובות. זאת אומרת שיש טעות אצלך או אצלם. אבל זו לא חייבת להיות טעות שקשורה לבחירת מערכת צירים. אתה צריך להראות את הנתונים והחישוב.

[bfs]

זאת השאלה המקורית

וזה פתרון (לשני הסעיפים הראשונים)

 

בהנחה והפתרון שלהם נכון, מה יכולה להיות הבעיה אם כך בדרך בה פעלתי (נתקלתי בתרגילים אחרים שפעלתי בדיוק באותה הדרך שהצגתי לעיל, והגעתי לפתרון הפוך לגבי כיווני המומנטים, כך שקשה להאמין שהם אלה שטעו)?

 

וכמה דברים לגבי מערכות צירים וכיוון המומנטים:

 

מערכת הצירים הבאה היא ימנית סטנדרטית (הכיוון החיובי הוא כנגד כיוון השעון):

 

 

אפשרות נוספת יכולה להיות כאשר ציר ה-x החיובי הוא בצד שמאל, וציר ה-z החיובי נכנס לדף (במצב כזה כיוון השעון הוא הכיוון החיובי), אפשרויות נוספות יכולות להיות אם משנים את כיוון ציר ה-y החיובי.

 

כל זה בשילוב הדרך שהצגתי בהתחלה, צריך לתת לי את כיוון המומנט בכל מקרה?

[אודי]

נראה לי שרשמת לא נכון את הקשר בין http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Calpha ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?a_%7Bcm%7D. במקרה הזה עבור מערכת צירים ימנית יש ביניהם הבדל של סימן. שים לב שסכום המומנטים שלך:

http://www.codecogs.com/gif.latex?fR-FR=I%5Calpha

כי אתה יודע ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?f מכיוון שהכדור נע ימינה. ולכן נובע שאלפא חייבת להיות שלילית.

 

לעומת זאת, מכיוון שבחרת את כיוון ציר x החיובי ימינה, אתה יודע ש:

http://www.codecogs.com/gif.latex?f+F=Ma_%7Bcm%7D

http://www.codecogs.com/gif.latex?a_%7Bcm%7D

 

ולכן

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Calpha=-a_%7Bcm%7D/R

 

אחרי שאתה מתקן את הסימן אתה מקבל את מערכת המשוואות הבאה:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?F+f=Ma_%7Bcm%7D

http://www.codecogs.com/gif.latex?f-F=-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7DMa_%7Bcm%7D

 

והפתרון שלה זהה לזה שיצא להם.

 

הבחירה שלהם לעבוד עם מערכת צירים שמאלית חסכה להם את הצורך לבדוק את הסימנים.

[bfs]

זה אומר שתמיד יש צורך לבדוק את הסימן?

כי לפעמים יותר קשה מהמקרה הנ"ל להסיק שסכום המומנטים צריך להיות שלילי ולכן יהיה צורך בהוספת סימן.

אם כך מהו הכלל להוספת/אי הוספת סימן כשאני עובד עם מערכת צירים ימנית ?

[אודי]

אין כלל גלובלי למערכת צירים ימנית... אם כיוון התנועה היה הפוך פה לא היית צריך להוסיף סימן. הכלל היחידי הוא שאתה תמיד צריך לשים לב שההנחות שלך לגבי סימנים קונסיסטנטיות.

[bfs]

תודה על העזרה הרבה