שאלה בתנועה סיבובית

[bfs]

אני צריך עזרה בשאלה הבאה:
 

 
ובאחד מן הסעיפים מבקשים:
 
לחשב את המהירות של קצה המוט, כאשר הוא עובר דרך הנקודה הנמוכה ביותר.
 
בחישוב של מומנט ההתמד ביחס לנקודה A יצא לי  http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B7%7D%7B48%7D%20%5Ccdot%20M%5Ccdot%20L%5E%7B2%7D   (ע"י שימוש במשפט שטיינר)

 

ומכאן הגעתי לתשובה  http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B7%7D%5Ccdot%20g%5Ccdot%20L%7D    עבור הסעיף הנ"ל.

 

הדבר שאני לא בטוח לגביו, שבחישוב האנרגיה הפוטנצאלית של המוט ברגע העזיבה, לקחתי את הגובה h בתור

 http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7BL%7D%7B2%7D   (פשוט לקחתי בחשבון שהמרחק מנקודת העזיבה ועד למרכז המסה של המוט הוא  http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7BL%7D%7B2%7D , אבל אני לא בטוח בשיקול הנ"ל).

 

אשמח להערות בנושא.

[אודי]

1. אם המוט אחיד ניתן להתייחס אליו כאל מסה נקודתית M שממוקמת במרכז המסה לצרכי חישוב אנרגיה פוטנציאלית.

 

2. אתה יכול לבחור נקודת ייחוס לאנרגיה פוטנציאלית כרצונך אבל בכל מקרה מה שנשאר בסוף כפרמטר במשוואת האנרגיה שלך הוא השינוי בגובה של מרכז המסה.

 

3. אפשר לראות שבתחילת הבעייה מרכז המסה היה באותו גובה כמו הציר ובסוף הבעייה הוא היה נמוך מהציר (שלא זז) ב-L/4. מכאן שהפרש הגובה המתאים הוא L/4, לא L/2, ושימור האנרגיה המתאים הוא:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7DI%5Comega%5E2=%5Cfrac%7B7%7D%7B96%7D%20ML%5E2%20%5Comega%5E2%20=Mg%5Cfrac%7BL%7D%7B4%7D

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Comega=2%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B6g%7D%7B7L%7D%7D

 

אם אתה צריך לחשב את המהירות הקווית של קצה המוט אתה מכפיל את המהירות הסיבובית במרחק של קצה המוט מהציר:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?v=%5Comega%20%5Ctimes%20%5Cfrac%7B3L%7D%7B4%7D=%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B6%7D%7B7%7DgL%7D

[bfs]

הבנתי את הפתרון, אבל לגבי החלק של המוט אחיד וחישוב האנרגיה פוטנציאלית לא הבנתי, מה היה קורה לו המוט לא היה אחיד מה היה צריך לעשות במצב כזה ? האם תוכל לתת דוגמא לגוף שכזה, ומהי גישת הפתרון במצב שכזה.

 

תודה

[אודי]

המממ.... אני לא יודע איזה קורס (או אולי מכינה?) אתה עושה. כתלות בקורס/מכינה אתה צריך לדעת או לא צריך לדעת לחשב מרכז מסה ומומנט התמד של גוף עם צפיפות לא אחידה.

 

לגבי דוגמא, נניח שיש לך מוט אנכי דק במסה M שהצפיפות שלו היא פונקציה של הגובה:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Crho%20(y)=%5Cfrac%7B2yM%7D%7BL%5E2%7D

 

קל לראות שהמוט אכן במסה M:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?M=%5Cintop_0%5EL%5Crho(y)%5C,dy

 

אבל מרכז המסה של המוט הזה לא באמצעו אלא קרוב יותר לקצה העליון, כי בקצה העליון הצפיפות גבוהה יותר:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?y_%7Bcm%7D=%5Cfrac%7B1%7D%7BM%7D%5Cintop_0%5EL%5Crho(y)ydy=%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7DL

 

וגם מומנט האינרציה ביחס למרכז המסה החדש יוצא שונה:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?I%20=%20%5Cintop_0%5EL%5Crho(y)(y-y_%7Bcm%7D)%5E2%5C,dy=%5Cfrac%7B1%7D%7B18%7DML%5E2

 

במקרה הזה אתה פשוט צריך להסתכל על מרכז המסה החדש ולהתייחס אליו באותו אופן כמו שהתייחסת למרכז המסה של המוט האחיד (לחשב מומנט אינרציה מתוקן לפי משפט שטיינר והמרחק של ציר הסיבוב ממרכז המסה; לחשב אנרגיה פוטנציאלית של המוט כאנרגיה פוטנציאלית של מסה נקודתית שנמצאת במרכז המסה).