עזרה בחישוב מומנט אינרציה

[mgno]

שלום לכולם,

 

נתקלתי בשאלה שאני אמשח אם תוכלו להסביר לי נקודה מסוימת בה:

 

נתונה דיסקה ברדיוס R הנעה ב-http://www.codecogs.com/gif.latex?v_%7B0%7D%5Chat%7Bx%7D על גבי שולחן חלק (ומסתובבת במהירות זוויתית התחלתית) כלפי שתי מסות (0.5 kg) אשר מחוברות בינהן עם מוט קשיח חסר מסה באורך 2R. המסות נמצאות במנוחה.

 

הדיסקה מתנגשת במוט עם המסות והם נדבקים.

 

רוצים למצוא את המהירות הזוויתית של הדיסקה עם המסות ביחד והפתרון מתבסס על שימור תנע זוויתי.  לשם כך, כדי לקבל משוואה, אני צריך להשוות בין http://www.codecogs.com/gif.latex?j%20_%7Bi%7D%20=%20j_%7Bf%7D. מומנט האינרציה של הדיסקה נתון סביב נק' מרכז המסה שלה, ואם משתמשים בנקודה זו אין צורך להתחשב במהירות הקווית.

 

הבעיה שלי היא אחרי ההתנגשות. כדי שהמשוואות יתקיימו אני צריך להמשיך להתייחס למרכז המסה מקורי של הדיסקה כנק' הייחוס שלי (בד"כ מחשבים סביב מרכז המסה החדש) ואני קצת לא מצליח להגיע לביטוי שמקבלים בפתרון :oops: . בפתרון רשום שהם פותרים סביב מרכז המסה החדש אחרי ההתנגשות, אבל זה קצת סותר את הביטוי לתנע ההתחלתי שלהם, ששם השתמשו במומנט האינרציה סביב מרכז המסה של הדיסקה.

 

הביטוים שהם קיבלו:

http://www.codecogs.com/gif.latex?j%20_%7Bi%7D%20=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7DMR%5E%7B2%7D%20%5Comega_%7B0%7D

 

אחרי:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?I%20_%7Bdisk%7D%20=%20(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7DMR%5E%7B2%7D%20+%20(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)%5E2MR%5E2%20)
 

http://www.codecogs.com/gif.latex?I%20_%7Bmass1%7D%20=%20(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7DmR%5E%7B2%7D%20+%20(%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)%5E2mR%5E2%20)
 

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?j%20_%7Bf%7D%20=%20%5Comega%20(I_%7Bdisk%7D+I_%7Bm1%7D+%20I_%7Bm2%7D)
 

 

אשמח אם תוכלו להסביר לי איך הגיעו לביטויים של I החדשים...

 

 

תודה

 

 

[אודי]

אני מבין שאורך המוט http://www.codecogs.com/gif.latex?L=2R, וש-http://www.codecogs.com/gif.latex?m_1=m_2=M/2?

 

לגבי מה שהם עושים, הם משתמשים במשפט שטיינר ביחס לציר סיבוב שעובר במרכז המסה החדש (של מערכת שלושת הגופים, שנמצא במרחק R/2 ממרכז הדיסקה/אמצע המוט).

 

מומנט האינרציה של גוף ביחס לציר במרחק L ממרכז המסה שלו הוא:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?I=I_0+ML%5E2

 

כאשר http://www.codecogs.com/gif.latex?I_0 הוא מומנט האינרציה ביחס למרכז המסה של הגוף הבודד המדובר. מה שהם עושים הוא להפעיל את משפט שטיינר בנפרד על הדיסקה ועל מערכת שני הגופים כדי לקבל את מומנט האינרציה של שניהם ביחס לציר הסיבוב החדש.

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?I_%7BDisk%7D=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7DMR%5E2+M(R/2)%5E2=%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7DMR%5E2

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?I_%7Bm1+m2%7D=2(%5Cfrac%7BM%7D%7B2%7DR%5E2+%5Cfrac%7BM%7D%7B2%7D(R/2)%5E2)=%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7DMR%5E2

[mgno]

טוב, המשפט הראשון שלך פתר לי את מהבעיה... משום מה דמיינתי ש-m1 ו-m2 שווים ל-0.5 ק"ג ולא 0.5M כמו שרשום בתרגיל... פאדיחות. :oops:

 

והדבר הנוסף, ניתן להשוות במקרה זה בין J ההתחלתי (שמחושב סביב למרכז המסה המקורי של הדיסקה) לסופי רק בגלל שמרכז המסה החדש נמצא על אותו ציר כמו מרכז המסה המקורי ( => המומנטים עדיין מתאפסים => תנע זוויתי עדיין נשמר)? אם היה למ"מ החדש רכיב y נניח אז כבר את ה-I ההתחלתי היינו צריכים לחשב עם שטיינר?

 

 

 

[אודי]

חשוב לא להתבלבל בין חישוב מומנט אינרציה לחישוב תנע זוויתי!

 

- מומנט אינרציה מחושב תמיד ביחס לציר הסיבוב, ללא תלות בבחירת נקודת הייחוס לחישוב תנע זוויתי. לכן הוא מחושב סביב מרכז הדיסקה לפני ההתנגשות וסביב מרכז המסה החדש אחריה.

- נקודת ייחוס לחישוב תנע זוויתי נבחרת בנפרד. במקרה שאין מומנטים חיצוניים יש חופש בחירה לגביה, אבל היא חייבת להיות אותה נקודה לפני ואחרי ההתנגשות. אחרת התנע הזוויתי פשוט יוצא שונה.

- בבעייה הזו נוח לבחור את הנקודה הזו כמיקום מרכז המסה החדש, אבל כל נקודה על הקו המחבר בין מרכז המוט למרכז הדיסקה תעבוד (כי אז תבטיח ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?V_%7Bcm%7D מקביל ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?r_%7Bcm%7D והרכיב הקווי של התנע הזוויתי אחרי ההתנגשות http://www.codecogs.com/gif.latex?M_%7BTOT%7D%20r_%7Bcm%7D%20%5Ctimes%20v_%7Bcm%7D מתאפס, כמו גם הרכיב הקווי של התנע הזוויתי של הדסקה לפני ההתנגשות).

- התנע הזוויתי במקרה זה נשמר עבור כל בחירת נקודת ייחוס, גם לא על הקו, כי אין מומנטים חיצוניים על המערכת. אם אתה בוחר נקודה מחוץ לקו המחבר יש רכיב קווי לתנע הזוויתי לפני ואחרי ההתנגשות (הם אמורים להתקנסל, מן הסתם...) והחישוב ארוך יותר.

[mgno]

תודה, אכן ערבבתי בין השניים.