חדוא 2ת,אינטגרל משטחי סוג 2, התאפסות הנורמל עבור פרמטריזציה מסויימת

[מנוי]

בשאלה , מבקשים לבחור את הנורמל שיהיה בכיוון Z עבור פרמטריזציה בנקדה (4-,0,0) , אך בנקודה הזאת יוצא שלא קיים וקטור נורמל למשטח עבור אותה הפרמטריזציה, למרות שידוע שקיים משיק למשטח באותה הנקודה, כי המשטח הוא פונקציה דיפרנציאבילית באותה הנקודה.

מערכת המתנט כותבת את הערה הבאה:

http://i.imgur.com/Kr9w2sM.jpg

אשמח אם משהו יכול להתייחס לשאלות בהערה.

מה זה יעזור אם אני אסתכל על כיוון הנורמל בסביבת הנקודה? ומה באמת קורה כאן?

 

[אודי]

הנקודה הזו יוצאת נקודה מיוחדת בגלל הגדרת הקואורדינטות הפולריות ובגלל שאנחנו מסביב ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cphi=%5Cpi (אם כי http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cphi=0 במקרה המתאים מתנהגת אותו הדבר).
תחום קטן מסביב לנקודה מתאים לטווח http://www.codecogs.com/gif.latex?%20%5Cpi-%5Cepsilon%20%5Cleq%20%5Cphi%20%5Cleq%20%5Cpi+%5Cepsilon.

אם תסתכל על כיוון הנורמל בתחום הזה, תראה שבחצי ממנו הנורמל יוצא מן המשטח ובחצי ממנו הוא נכנס למשטח, ולכן בקו הגבול בין שני התחומים הוא חייב להתאפס.
אין פה משהו עמוק יותר כגורם מהמחזוריות (ותכונות הסימטריה) של פונקציות טריגונומטריות, לדעתי.

(כמובן שאם מגדירים את התחום שלנו כ-http://www.codecogs.com/gif.latex?0%20%5Cleq%20%5Ctheta%20%5Cleq%202%5Cpi ו- http://www.codecogs.com/gif.latex?%20%5Cpi-%5Cepsilon%20%5Cleq%20%5Cphi%20%5Cleq%20%5Cpi הנורמל לא יחליף סימן ויישאר יוצא תמיד, אבל זה לא משנה את הנקודה העקרונית שב-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cphi=%5Cpi הנורמל הופך מיוצא לנכנס ולכן חייב להתאפס שם. כי הוקטור הזה מורכב מפונקציות טריגונומטריות שהן רציפות וחלקות).

אתה יכול גם לראות שהוקטור http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BR_%7B%5Ctheta%7D%7D מתאפס בנקודה (או אם תרצה, "מחליף כיוון") הזו ולוקח איתו את המכפלה הוקטורית.

[מנוי]

התכווונת ל:

(כמובן שאם מגדירים את התחום שלנו כ-http://www.codecogs.com/gif.latex?0%20%5Cleq%20%5Ctheta%20%5Cleq%202%5Cpi ו- http://www.codecogs.com/gif.latex?%20%5Cpi-%5Cepsilon%20%5Cleq%20%5Cphi הנורמל לא יחליף סימן ויישאר יוצא תמיד, אבל זה לא משנה את הנקודה העקרונית שב-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cphi=%5Cpi הנורמל הופך מיוצא לנכנס ולכן חייב להתאפס שם. כי הוקטור הזה מורכב מפונקציות טריגונומטריות שהן רציפות וחלקות).

 

כי כאשר http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cphi שווה לאפס, הנורמל  כמו שנאמר מתאפס?

[אודי]

לא הבנתי את השאלה בהקשר של הציטוט

הנורמל מתאפס ב-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cphi=0 וב-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cphi=%5Cpi כי הוא מחליף כיוון בנקודה הזו (עובר מפונה החוצה לפונה פנימה או ההפך).

[מנוי]

לא הבנתי את השאלה בהקשר של הציטוט

הנורמל מתאפס ב-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cphi=0 וב-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cphi=%5Cpi כי הוא מחליף כיוון בנקודה הזו (עובר מפונה החוצה לפונה פנימה או ההפך).

בציטוט החלפתי את הסימן הימני באי שיוויון של הhttp://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cphi מאי שיוויון חלש לחזק, כי כמו שאמרת כאשר http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cphi=%5Cpi, הנורמל מתאפס.

[אודי]

בקונטקסט של הדיון הנוכחי, לא התייחסתי להתאפסות של הנורמל כשלעצמה כאל "החלפת סימן". החלפת סימן זה מבחינתי רק אם יש נורמל נכנס במקום יוצא או ההפך.

 

...אתה צריך תחום מסביב לאפס או פאי כדי לראות שהנורמל אכן משנה כיוון ולא סתם מתאפס וחוזר להיות יוצא/נכנס כמו קודם. תחום שמכיל את אחת הנקודות בקצה אחד שלו לא יספיק בשביל לראות את זה.

[מנוי]

תודה!