קיבול, עבודה של סוללה, פיסיקה 2ממ

[מנוי]

שלום רב,

אשמח אם משהו יכול להסביר לי איך מגיעים לביטוי המתימטי הנ"ל עבור דלתא-עבודה של סוללה:

(הוא גם לא נראה נכון כי הC תלוי בין היתר בQ, ולכן התוצאה של הגזירה החלקית לפי Q אמור להיות שונה).

 

http://i.imgur.com/mcRsVI0.jpg

[אודי]

זה סתם חישוב דיפרנציאל. אתה יודע ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?W_b שווה לפוטנציאל U עד כדי קבוע, אז אם שניהם פונקצייה של המטען בלבד אפשר לכתוב את הדיפרנציאל של http://www.codecogs.com/gif.latex?W_b בצורה הזו מגזירה לפי כלל השרשרת.

[מנוי]

כן, אבל שים לב ש-C תלוי בQ.

אז הגזירה החלקית איננה נכונה.

[אודי]

לא הוא לא. אם אנחנו מפרידים בין תהליכי הדחיסה והטעינה של הסוללה (וזה מה שאנחנו עושים כדי לחשב את http://www.codecogs.com/gif.latex?W_b בנפרד מ-http://www.codecogs.com/gif.latex?W_c) תהליך הטעינה של הסוללה מתבצע ברדיוס קבוע, כלומר הקיבול קבוע בזמן הדחיסה.

[מנוי]

זה סתם חישוב דיפרנציאל. אתה יודע ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?W_b שווה לפוטנציאל U עד כדי קבוע, אז אם שניהם פונקצייה של המטען בלבד אפשר לכתוב את הדיפרנציאל של http://www.codecogs.com/gif.latex?W_b בצורה הזו מגזירה לפי כלל השרשרת.

זה לא ממש היה ידוע לי.

האם הכוונה שלך שמכיוון שהעבודה היא אנרגיה התחלתית מינוס אנרגיה סופית.

אזי אם נגדיר את האנרגיה ההתחלתית להיות קבוע כלשהו, אזי נקבל שהעבודה היא אנרגיה כלשהי בזמן כלשהו מינוס קבוע כלשהו?

[אודי]

בערך.

כאמור, מכיוון שיש שימור אנרגיה לאורך כל התהליך לא משנה באיזה סדר אנחנו מבצעים את הדחיסה והטעינה מהסוללה, או אם אנחנו מבצעים אותם ליחד או לחוד.

כדיי לבודד את http://www.codecogs.com/gif.latex?dW_b ואנחנו מסתכלים על שלב טעינה אינפטיסימלי כלשהוא, נסמן אותו באינדקס N. בשלב הזה:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?U_%7Bf_N%7D-U_%7Bi_N%7D=dU=dW_b

...מכיוון שבתהליך הזה הקיבול (רדיוס) קבוע והמטען משתנה, ברור שהדיפרנציאל של הפוטנציאל dU תלוי במטען האינפיטיסימלי שנוסף dQ בלבד.

 

המצב היה שונה אם היינו מסתכלים על שלב דחיסה אינפיסטימלי, שבו המטען נשאר קבוע והקיבול (רדיוס) משתנה. אז הדיפרנציאל http://www.codecogs.com/gif.latex?dU=dW_c היה פונקציה של השינוי האינפיטיסמלי בקיבול dC בלבד.

[מנוי]

בערך.

כאמור, מכיוון שיש שימור אנרגיה לאורך כל התהליך לא משנה באיזה סדר אנחנו מבצעים את הדחיסה והטעינה מהסוללה, או אם אנחנו מבצעים אותם ליחד או לחוד.

אם אנחנו רוצים לבודד את העבודה שמבצעת הטעינה של הסוללה, נוח לחשוב על התהליך כעל תהליך שמכיל שלב טעינה נפרד ושלב דחיסה נפרד, שכ"א ניתן לחלוקה לקטעים אינפיטיסמליים.

כדיי לבודד את http://www.codecogs.com/gif.latex?dW_b ואנחנו מסתכלים על שלב טעינה אינפטיסימלי כלשהוא, נסמן אותו באינדקס N. בשלב הזה:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?U_%7Bf_N%7D-U_%7Bi_N%7D=dU=dW_b

...מכיוון שבתהליך הזה הקיבול (רדיוס) קבוע והמטען משתנה, ברור שהדיפרנציאל של הפוטנציאל dU תלוי במטען האינפיטיסימלי שנוסף dQ בלבד.

 

המצב היה שונה אם היינו מסתכלים על שלב דחיסה אינפיסטימלי, שבו המטען נשאר קבוע והקיבול (רדיוס) משתנה. אז הדיפרנציאל http://www.codecogs.com/gif.latex?dU=dW_c היה פונקציה של השינוי האינפיטיסמלי בקיבול dC בלבד.

 

שים לב למשפט האחרון בשאלה :"והראו, ע"י חישוב מפורש, שהאנרגיה אכן נשמרת".

זה בעצם אומר שאנחנו צריכים להוכיח את שימור האנרגיה, ולכן אנחנו לא יכולים להניח שהאנרגיה אכן נשמרת.

[אודי]

לא נכון. אתה יכול להניח שהאנרגיה נשמרת, אתה רק צריך להצדיק את ההנחה הזו בדיעבד.

שים לב שזה בדיוק מה שהפתרון עושה.

[מנוי]

סתכל על החץ השחור שבתמונה.

אתה אמרת ,שבשלב הזה הם מניחים שהכוח הדוחס לא קיים, ויש רק את הכוח המטעין המופעל על ידי הסוללה.

אז למה בשורה שלמטה הם עוברים למשתנה האינטגרציה R ועושים אינטגרציה לפי R, הרי רק בשורה שלמעלה הם הניחו ש-R לא משתנה.

דבר שני, למה מכתחילה הם עושים את המעבר למשתנה האיטגרציה R ,למה לא לעשות את האינטגרציה לפי Q?

[אודי]

סתם מסקרנות, למה אתה לא שואל את המתרגל את כל השאלות האלו?

:scratch:

- הקיבול קבוע בשלב האינפיטיסמילי, שבו השינוי ברדיוס זניח לעומת הרדיוס. הם עושים אינטגרציה על הרבה שלבים אינפיטיסימליים שבכ"א הקיבול קבוע.

- הם צריכים להיפטר מ-Q או מ-R כי שניהם משתנים בתהליך (הלא אינפיטיסימלי). לכן הם צריכים להכניס את הגודל הקבוע http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cphi לביטוי. הם היו יכולים באותה מידה להיפטר מ-R ולהישאר עם http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cphi ו-Q ואז לעשות אינגרציה לפי Q. מתקבלת אותה תוצאה.

- אתה צודק אבל שלא דייקתי לגבי זה שהם לא מפרידים בגדול בין תהליך הטעינה והדחיסה ומניחים שהם קורים במקביל.

[מנוי]

סתם מסקרנות, למה אתה לא שואל את המתרגל את כל השאלות האלו?

:scratch:

אין לרוב זמן לשאול את המתרגל את כל מה שלא מבינים, וגם כששואלים אין זמן לחשוב על התשובה ולראות אם מבינים אותה או שהיא רק מעוררת שאלות נוספות.

אם אתה מכיר מתרגל בטכניון שמכיר את הנושא פיסיקה 2ממ ברמה גבוהה ויכול לתת שיעורי פרטיים שמסבירים שאלות קשות שעולות מהנושא, אשמח אם תתן לי פרטים לגביו, גם בפרטי.

[אודי]

[מנוי]

 למטה הם כותבים ש"הכוח הדוחס על אלמנט שטח אינפיניטסימלי da של הקליפה חייב להיות שוה בערך והפוך בכיוון לכוח החשמלי הפועל על האלמנט".

יש לך מושג למה הוא חייב להיות כזה?

[אודי]

כי אם הכח הדוחס לא יהיה (לפחות) שווה בגודלו לכח החשמלי, הקליפה לא תידחס פנימה... הכח החשמלי דוחף אותה החוצה.

אם אתה שואל למה הם צריכים להיות שווים בדיוק (ואסור שהכח הדוחס יהיה גדול מהכח החשמלי), אני לא בטוח נראה לי שזה נובע מהדרישה שהפוטנציאל http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cphi יישאר קבוע על הקליפה.

הפוטנציאל הוא היחס בין Q ל-R, ומכיוון שקצב הטעינה של הקליפה (זרם) קבוע (כתוצאה מכך שהטעינה באמצעות סוללה, למיטב ידיעתי מספקת זרם ישר קבוע בלבד) גם הכיווץ צריך להיות במהירות קבועה ולא בתאוצה.