פוטנציאל של שדה משמר.

[מנוי]

מה הפוטנציאל של השדה הזה:

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft(%5Cfrac%7B-y%7D%7Bx%5E2+y%5E2%7D,%5Cfrac%7Bx%7D%7Bx%5E2+y%5E2%7D%5Cright) סביב תחום סגור שאינו מכיל את הראשית?

יצא לי ביטויים כמו עבור X שאינו שווה 0, הפונאציאל הוא: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Carctan(%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D).

ועבור Y שאינו שווה 0, הפוטנציאל הוא :   http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Carctan(%5Cfrac%7Bx%7D%7By%7D).

עכשיו נניח שאני עושה אינטגרל קווי מהנקודה(1,0) לנקודה (0,1) אני מקבל http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D .  מצד שני, אם אני מציב בפונקציות הפונטציאל ומחסיר ביניהם, אני מקבל אפס.

אני מבין שאני עושה משהו לא נכון, אבל מה?

[אודי]

השדה הזה אינו משמר, ואין לו פונקציית פוטנציאל. שים לב שקבלת שתי פונקציות שונות מאינטגרציה של רכיבי x ו-y של השדה לפי המשתנים המתאימים.

...אם זה היה שדה משמר רכיביו היו מתקבלים כגרדיינט של אותה פונקצייה, פונקציית הפוטנציאל.

אפשר לבדוק גם ע"י חישוב הנגזרות המעורבות (הנגזרת לפי y של רכיב x של השדה והנגזרת לפי x של רכיב y). אם השדה משמר ונגזר מפונקציית פוטנציאל הנגזרות המעורבות היו שוות. תוכל לראות שהן לא.

 

...וכמובן כמו שראית בעצמך האינטגרל הקווי על השדה הזה במסלול סגור לא מתאפס.

[מנוי]

השדה הזה אינו משמר, ואין לו פונקציית פוטנציאל. שים לב שקבלת שתי פונקציות שונות מאינטגרציה של רכיבי x ו-y של השדה לפי המשתנים המתאימים.

...אם זה היה שדה משמר רכיביו היו מתקבלים כגרדיינט של אותה פונקצייה, פונקציית הפוטנציאל.

אפשר לבדוק גם ע"י חישוב הנגזרות המעורבות (הנגזרת לפי y של רכיב x של השדה והנגזרת לפי x של רכיב y). אם השדה משמר ונגזר מפונקציית פוטנציאל הנגזרות המעורבות היו שוות. תוכל לראות שהן לא.

 

...וכמובן כמו שראית בעצמך האינטגרל הקווי על השדה הזה במסלול סגור לא מתאפס.

האינטגרל הקווי של השדה הזה סביב כל מסלול שלא מקיף את הראשית יתאפס על פי משפט גרין.

זהו כן שדה משמר, בכל תחום סגור שלא כולל את הראשית.

[אודי]

כל עוד אתה לא מגדיר את השדה הזה במסגרת הקורס מספרים מרוכבים - אין לו פונקציית פוטנציאל ולכן הוא לא יכול להיות משמר.

אין חייה כזו שדה משמר בלי פונקציית פוטנציאל. ופונקציית הפוטנציאל היחידה שאפשר להגדיר פה באופן קונסיסטנטי מבוססת על קונספט ממספרים מרוכבים. 

דברתם על פונקציות פוטנציאל מרוכבות בקורס?

[מנוי]

כל עוד אתה לא מגדיר את השדה הזה במסגרת הקורס מספרים מרוכבים - אין לו פונקציית פוטנציאל ולכן הוא לא יכול להיות משמר.

אין חייה כזו שדה משמר בלי פונקציית פוטנציאל. ופונקציית הפוטנציאל היחידה שאפשר להגדיר פה באופן קונסיסטנטי מבוססת על קונספא ממספרים מרוכבים. 

דברתם על פונקציות פוטנציאל מרוכבות בקורס?

מצד אחד לא דיברנו על מספרים מרוכבים, מצד שני הגדרנו שדה משמר כשדה שעל כל מסלול סגור האיטנגרל הקווי סוג 2 שלו מתאפס, מה שאכן יקרה במקרה שלנו עבור כל אינטגרל קווי שלא יקיף את הראשית(על פי משפט גרין).

[אודי]

אולי כדאי שתתחיל ממה היתה השאלה לגבי הפונקצייה הזו.

כי אם לא שאלו מהי פונקציית הפוטנציאל, הייתה סיבה טובה שלא שאלו.

[מנוי]

אולי כדאי שתתחיל ממה היתה השאלה לגבי הפונקצייה הזו.

כי אם לא שאלו מהי פונקציית הפוטנציאל, הייתה סיבה טובה שלא שאלו.

לא שאלו, אבל המתרגל כתב 2 ביטויים לפונקציית הפונטציאל עבור X>0 ו0>X הוא כתב את הביטוי עם X במכנה, ועבור Y<0 ו0<Y הוא כתב את הביטוי עם Y במכנה.(הוא הפריע למקרים).

אתה אומר ששני הביטויים האלה זה שטויות גמורות?

[אודי]

הביטויים האלו נכונים אם הדיון הוא על "משמר בתחום" ולא סתם "משמר". לסתם משמר צריך ביטוי אחד שתקף בכל המרחב (וכאמור, השדה הזה לא משמר בכל המרחב).

אבל אתה לא יכול להשתמש בשתי הפונקציות לחישוב אינטגרל מסויים בתחום מסויים, אתה צריך לבחור פונקציית פוטנציאל אחת בתחום שלך.

אם אני מבין אותך נכון, המתרגל לא הגדיר פונקציית פוטנציאל שמוגדרת משני קטעים, הוא הגדיר שתי פונקציות שונות שאפשר להשתמש בהן (בקטעים שיש חפיפה ביניהם).

[מנוי]

הביטויים האלו נכונים אם הדיון הוא על "משמר בתחום" ולא סתם "משמר". לסתם משמר צריך ביטוי אחד שתקף בכל המרחב (וכאמור, השדה הזה לא משמר בכל המרחב).

אבל אתה לא יכול להשתמש בשתי הפונקציות לחישוב אינטגרל מסויים בתחום מסויים, אתה צריך לבחור פונקציית פוטנציאל אחת בתחום שלך.

אם אני מבין אותך נכון, המתרגל לא הגדיר פונקציית פוטנציאל שמוגדרת משני קטעים, הוא הגדיר שתי פונקציות שונות שאפשר להשתמש בהן (בקטעים שיש חפיפה ביניהם).

אם השדה משמר בתחום, מה זה אומר על פונקציית הפוטנציאל שלו?

[אודי]

שהיא קיימת וגזירה שם.

יכולות להיות הרבה בחירות אפשריות לפונקציית פוטנציאל בתחום (נבדלות בקבוע או טיפה יותר מסובך כמו במקרה הזה), אבל אתה בוחר אחת לחישוב שלך ולא מחליף אותה באמצע החישוב. אתה פשוט צריך לבחור פונקצייה שתקפה בכל התחום.

 

...כאמור צריך להבדיל בין פונקציית פוטנציאל אחת שמוגדרת באופן שונה בקטעים שונים של התחום (לגיטימי) למספר פונקציות פוטנציאל אפשריות שמוגדרות באותו קטע (כמו פה, ואז צריך לבחור אחת לחישוב).

[מנוי]

שהיא קיימת וגזירה שם.

יכולות להיות הרבה בחירות אפשריות לפונקציית פוטנציאל בתחום (נבדלות בקבוע או טיפה יותר מסובך כמו במקרה הזה), אבל אתה בוחר אחת לחישוב שלך ולא מחליף אותה באמצע החישוב. אתה פשוט צריך לבחור פונקצייה שתקפה בכל התחום.

 

...כאמור צריך להבדיל בין פונקציית פוטנציאל אחת שמוגדרת באופן שונה בקטעים שונים של התחום (לגיטימי) למספר פונקציות פוטנציאל אפשריות שמוגדרות באותו קטע (כמו פה, ואז צריך לבחור אחת לחישוב).

ואם אני רוצה לחשב את הפרש הפוטנציאלים כמו בדוגמא שלי ,שבו אני צריך את 2 הפונקציות. אני אמור לדעת למצוא כזאת, כי אני יודע שהיא קיימת,לא?

[אודי]

למה אתה צריך את שתי הפונקציות?

:scratch:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?I=%5Carctan(%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D)%7C_%7B(0,1)%7D-%5Carctan(%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D)%7C_%7B(1,0)%7D=%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D-0=%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D

 

לא יכול להיות מצב שבו תצטרך את שתי הפונקציות בתחום פשוט קשר אחד שבו השדה משמר. הן mutual exclusive.
 

עריכה: משהו לא מסתדר לי. יש מצב שלארקטנגנס עם y למטה היה מינוס ליד?

[מנוי]

למה אתה צריך את שתי הפונקציות?

:scratch:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?I=%5Carctan(%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D)%7C_%7B(0,1)%7D-%5Carctan(%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D)%7C_%7B(1,0)%7D=%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D-0=%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D

 

לא יכול להיות מצב שבו תצטרך את שתי הפונקציות בתחום פשוט קשר אחד שבו השדה משמר. הן mutual exclusive.

 

עריכה: משהו לא מסתדר לי. יש מצב שלארקטנגנס עם y למטה היה מינוס ליד? כן, יש לו מינוס

[אודי]

אה, עכשיו הכל מסתדר. שתי פונקציות הפוטנציאל האלו נבדלות בקבוע. פאי חלקי שתיים, ליתר דיוק.

בכל מקרה, אתה בוחר ועובד רק עם אחת מהם.

 

...זה בדיוק כמו ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E2 ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E2+5 שתיהן אינטגרל של http://www.codecogs.com/gif.latex?2x, אבל אתה לא יכול לבחור את שתיהן כפונקציית פוטנציאל (חד ממדית) באותו חישוב. אתה צריך לבחור אחת.

[מנוי]

 

למה אתה צריך את שתי הפונקציות?

:scratch:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?I=%5Carctan(%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D)%7C_%7B(0,1)%7D-%5Carctan(%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D)%7C_%7B(1,0)%7D=%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D-0=%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D

 

לא יכול להיות מצב שבו תצטרך את שתי הפונקציות בתחום פשוט קשר אחד שבו השדה משמר. הן mutual exclusive.

 

עריכה: משהו לא מסתדר לי. יש מצב שלארקטנגנס עם y למטה היה מינוס ליד? כן, יש לו מינוס

 

 

למה אתה צריך את שתי הפונקציות?

:scratch:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?I=%5Carctan(%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D)%7C_%7B(0,1)%7D-%5Carctan(%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D)%7C_%7B(1,0)%7D=%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D-0=%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D

 

לא יכול להיות מצב שבו תצטרך את שתי הפונקציות בתחום פשוט קשר אחד שבו השדה משמר. הן mutual exclusive.

 

עריכה: משהו לא מסתדר לי. יש מצב שלארקטנגנס עם y למטה היה מינוס ליד? כן, יש לו מינוס

על פניו בביטוי הזה:  http://www.codecogs.com/gif.latex?-%5Carctan(%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D)%7C_%7B(1,0)%7D אתה מציב משום מה 0 במכנה,לא? ערך ה-X שלה הוא אפס, ואתה משום מה מציב אותו?

[אודי]

למה לא? זה נותן גבול סופי ומוגדר היטב:

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Carctan(%5Cinfty)=%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D

..בכל מקרה, שתי פונקציות הפוטנציאל שלך סובלות מאותה בעייה על הצירים (כל אחת על ציר אחר), אז זה לא משנה באיזו פונקצייה אתה בוחר בחישוב הזה והבעייה הזו לא גוררת צורך להשתמש בשתיהן (כאמור, אסור).

[מנוי]

למה לא? זה נותן גבול סופי ומוגדר היטב:

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Carctan(%5Cinfty)=%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D

..בכל מקרה, שתי פונקציות הפוטנציאל שלך סובלות מאותה בעייה על הצירים (כל אחת על ציר אחר), אז זה לא משנה באיזו פונקצייה אתה בוחר בחישוב הזה והבעייה הזו לא גוררת צורך להשתמש בשתיהן (כאמור, אסור).

על פי איזה שיקולים בחרת דווקא את  http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D  ולא http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B-%5Cpi%7D%7B2%7D. בהתחשב בזה שעשית פה איזשהו גבול, למה התקרבת על ציר X לאפס  מצד ימין ולא מצד שמאל?

[אודי]

- הפוטנציאל אמור לתת אותה תוצאה ללא תלות במסלול

- במסלול הקצר ביותר בין (0,1) ל-(1,0) מגיעים ל-(1,0) מ-y חיובי (וכמובן ש-x חיובי בגבול הזה, כמו בכל גבול שמתקרב ל-x=1).

- הגבול המתאים לארגומנט של arctan במסלול הזה הוא אינסוף ולא מינוס אינסוף.

 

כמובן שלא ייתכן שלפונקציית פוטנציאל יהיו שני ערכים שונים באותה נקודה. אם אתה מגיע למסקנה כזו כנראה שעברת את תחום התקפות שלה (ואם תחצה את ציר x ותגיע ל-(1,0) מ-y שלילי תגיע למסקנה כזו).

...אבל אתה לא צריך לחצות ממש את ציר x כי הגבול החד"צ שרלוונטי לתחום שבו אתה מבצע את החישוב מוגדר היטב.

[מנוי]

כמובן שלא ייתכן שלפונקציית פוטנציאל יהיו שני ערכים שונים באותה נקודה. אם אתה מגיע למסקנה כזו כנראה שעברת את תחום התקפות שלה (ואם תחצה את ציר x ותגיע ל-(1,0) מ-y שלילי תגיע למסקנה כזו).

הסיבה שאני לא יכול לעבור את תחום התקפות של הפונקציה נעוצה בזה שפונקציית הפוטנציאל צריכה להיות דיפרנציאבילית לכל כל העקום שלאורכו אני עושה את האינטגרל הקווי סוג 2?

[אודי]

אני לא מכיר דרישה כזו. אולי היא קיימת.

[מנוי]

תודה

[מנוי]

 

כמובן שלא ייתכן שלפונקציית פוטנציאל יהיו שני ערכים שונים באותה נקודה. אם אתה מגיע למסקנה כזו כנראה שעברת את תחום התקפות שלה (ואם תחצה את ציר x ותגיע ל-(1,0) מ-y שלילי תגיע למסקנה כזו).

הסיבה שאני לא יכול לעבור את תחום התקפות של הפונקציה נעוצה בזה שפונקציית הפוטנציאל צריכה להיות דיפרנציאבילית לכל כל העקום שלאורכו אני עושה את האינטגרל הקווי סוג 2?

מה זה תחום התקפות של פונקציית הפוטנציאל. לא למדנו את זה? 

[אודי]

זה לא מושג פורמלי... הנקודה היא שאם אתה מרשה שלפוטנציאל שלך תהיה נקודת קפיצה (כמו שיש לו פה ב-x=0/y=0) אתה מקבל כל מיני סתירות כי נובע לכאורה שהשדה מתבדר שם (אבל אם תבדוק את הביטוי לשדה תראה שהוא דווקא סופי על הצירים כל עוד אנחנו לא בראשית).

ולכן המתרגל הגביל את השימוש בפונקציות הפוטנציאל האלו ל-x/y<0 או x/y>0 (בתכ'לס, אפשר גם שווה לאפס אם אומרים שהערך של פונקציית הפוטנציאל שם הוא הגבול החד צדדי).

כל הבעיות הפתולוגיות האלו עם פונקציית הפוטנציאל נובעות מכך שהשדה לא משמר על כל המרחב והפוטנציאל ה"אמיתי" שלו בכלל מבוסס על פונקצייה מרוכבת,

אבל אני לא רוצה לסבך אותך עם נאומים על ענפים ואנליטיות כי זה לא רלוונטי עכשיו (ואני גם בקושי זוכר את זה).

[מנוי]

למה אתה צריך את שתי הפונקציות?

:scratch:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?I=%5Carctan(%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D)%7C_%7B(0,1)%7D-%5Carctan(%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D)%7C_%7B(1,0)%7D=%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D-0=%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D

 

לא יכול להיות מצב שבו תצטרך את שתי הפונקציות בתחום פשוט קשר אחד שבו השדה משמר. הן mutual exclusive.

 

עריכה: משהו לא מסתדר לי. יש מצב שלארקטנגנס עם y למטה היה מינוס ליד?

 

 

נניח אני אבחר תחום פשוט קשר שלא מקיף את הראשית,ואגדירו באופן הבא: כל XY כך ש X אינו שלילי  או שווה לאפס,וגם Y נמצא בין מינוס אחד לאחד.

כלומר אני מוצא מהתחום רצואה בעלת עופי 2 לאורך ציר X השלילי.כלומר התחום שלי זה: כל ערכי XY מלבד:

(1>x<=0 &&  -1<y) ,&& הוא סימן ל"וגם".

 

עכשיו על פניו יש לי תחום פשוט קשר שבו אני יכול להגדיר פונקציית פוטנציאל. 

אבל אם נניח אני רוצה לעשות אינטגרל קווי בין הנקודה (1,1) לנקודה (3-,1-).

 

באיזה מבין 2 פונקציות הפונטציאל אני אמור להשתמש?

[אודי]

 כל XY כך ש X אינו שלילי  או שווה לאפס,וגם Y נמצא בין מינוס אחד לאחד.

 

(1>x<=0 &&  -1<y)

 

שני התחומים האלו שונים. באחד x חיובי ובשני אי חיובי. תחליט.

בכל מקרה, לפי בחירת התחומים שלך אתה אמור להשתמש ב-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Carctan(%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D) כי הפונקציה השנייה לא רציפה/גזירה על פס באמצע התחום שלך (להבדיל מהראשונה שגזירה חד"צ בקצה התחום שלך, שזה עוד קביל, נניח).