נגזרת חלקית של פונקציה עם 4 משתנים(חדוא, מתנט, אינטגרל משולש)

[מנוי]

אני מנסה לענות על השאלה ,איפה קצב ההתנדבות הוא יותר גדול:

 

http://i.imgur.com/Ext01Em.png

 

 

אם אני מקבע t כלשהו, קל לראות שצפיפות המסה ליחידת נפח תהיה יותר קטנה אחרי זמן t כלשהו כאשר המרחק מהראשית גדול יותר.

אך משום מה כשאני גוזר את פונקציית צפיפות המסה לפי t, אני מקבל משהו מוזר. אני מקבל שאיבוד המסה הוא יותר גדול   לרגע t כלשהו, כשאני קרוב יותר למרכז המסה.

 

[אודי]

על סמך הנגזרת:

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Crho,_t=-r%5E%7B3/2%7D%20%5Crho%20_0%20e%5E%7B-r%5E%7B3/2%7Dt%7D

אתה יכול לראות שקצב השינוי בצפיפות במרכז (הביטוי בערך מוחלט) הולך לאפס.

מכיוון שיש רציפות, נובע שיש סביבה של המרכז שבה קצב השינוי בצפיפות איטי.

 

בכל מקרה, הנגזרת של הצפיפות רק מבלבלת אותך פה. אם אתה מסתכל על הצפיפות אתה רואה שהכדור מתחיל בצפיפות אחידה שדועכת מהר יותר על השפה (כי המקדם של האקספוננט השלילי גדול יותר שם). זה נותן תשובה טובה מספיק לשאלה לטעמי, בהנחה שקצה ההתנדפות מוגדר ע"פ השינוי בצפיפות ולא ע"י השינוי במסה (ומניסוח השאלה נראה שכך הוא מוגדר, מכיוון שלשפת התחום אין נפח ולכן אי אפשר לדבר על קצב איבוד מסה בשפה, רק על קצב ירידה בצפיפות).

[מנוי]

על סמך הנגזרת:

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Crho,_t=-r%5E%7B3/2%7D%20%5Crho%20_0%20e%5E%7B-r%5E%7B3/2%7Dt%7D

אתה יכול לראות שקצב השינוי בצפיפות במרכז (הביטוי בערך מוחלט) הולך לאפס.

מכיוון שיש רציפות, נובע שיש סביבה של המרכז שבה קצב השינוי בצפיפות איטי.

ואם אני רוצה להראות מונוטוניות תוך שימוש בנגזרת, כלומר כככול שמתקדמים לעבר המרכז קצב איבוד המסה נהיה יותר איטי. איך לעשות זאת?

[אודי]

קצב איבוד המסה הוא האינטגרל שאתה מחשב והוא דבר שונה מקצב השינוי בצפיפות. פונקצייה אחרת, כאמור.

אם נדבר שוב על קצב השינוי בצפיפות והנגזרת שלך, שים לב שתכונה של האקספוננט הדועך שאני מדבר עליו הוא שאם הוא דועך מהר יותר הוא מגיע אחרי זמן קצר יותר לאיזור שבו השינויים זניחים.

...ולכן אם אתה מסתכל על הכדור אחרי זמן מסויים t סביר שהצפיפות משתנה לאט יותר בשוליים מאשר במרכז.

כלומר, לכאורה באותו זמן היא תדעך "מהר יותר" במרכז. אבל זה רק כי הצפיפות בשוליים הגיעה לחלק הלא משמעותי של האקספוננט קודם.

 

בכל מקרה, ב"קצב ההתנדפות גדול יותר" הכוונה להבנתי ל"מאבד מהר יותר את רוב הצפיפות ההתחלתית" ולא "מאבד יותר צפיפות בכל זמן נתון". הרי ברור שאם כל הכדור התחיל מאותה צפיפות והיא גודל סופי השוליים שלו לא יכולים לאבד צפיפות מהר יותר לנצח, כי באיזהשהוא שלב הצפיפות שלהם פשוט תגמר ושל המרכז לא.

ולכן אי אפשר להראות את מה שאתה מציין בדרך שאתה רוצה. כי הוא לא חייב להתקיים כדי שהשוליים יאבדו צפיפות מהר יותר.

[מנוי]

תודה רבה!! ממש עשית סדר בראש!