משפט הפונקציות הסתומות

[מנוי]

אני מחפש דוגמא נגדית לhttp://www.codecogs.com/gif.latex?F(x,y,z) פונקציה דיפרנציאבילית בנקודה (http://www.codecogs.com/gif.latex?x_0,y_0,z_0) כך שhttp://www.codecogs.com/gif.latex?F(x_0,y_0,z_0)=0 הנגזרת החלקית של F בנקודה (http://www.codecogs.com/gif.latex?x_0,y_0,z_0) לפי Z שונה מאפס(כלומר, כל תנאי משפט הפונקציות הסתומות מתקיימות מלבד הנתון שF בעלת נ"ח רציפות),אז תנאי המשפט לא קיימים כלומר, לא קיימת Z כפונקציה של X,Y בסביבת הנקודה  http://www.codecogs.com/gif.latex?x_0,y_0,z_0.

 

יש למשהו רעיון ?

[אודי]

דוגמא בהשראת ויקיפדיה:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x,y,z)=x+y+z+x%5E2%5Csin(%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D) עבור http://www.codecogs.com/gif.latex?(x,y,z)%20%5Cneq%20(0,0,0)

http://www.codecogs.com/gif.latex?f(0,0,0)=0.

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?f,_x(0,0,0)=%5Clim_%7B%5Cepsilon%5Crightarrow0%7D%5Cfrac%7B%5Cepsilon+%5Cepsilon%5E2%5Csin(%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cepsilon%7D)-0%7D%7B%5Cepsilon%7D=1

http://www.codecogs.com/gif.latex?f,_y(0,0,0)=1

http://www.codecogs.com/gif.latex?f,_z(0,0,0)=1

 

הפונקצייה דיפרנציאבלית ב-(0,0,0) כי:

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clim_%7B%5Cepsilon,h,k%5Crightarrow0%7D%5Cfrac%7B%5Cepsilon+%5Cepsilon%5E2%5Csin(%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cepsilon%7D)+h+k-0-%5Cepsilon-h-k%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cepsilon%5E2+h%5E2+k%5E2%7D%7D=0

 

אבל הנגזרת החלקית לא רציפה שם כי עבור x שונה מאפס:

http://www.codecogs.com/gif.latex?f,_x(x,y,z)=1+2x%5Csin(%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D)-%5Ccos(%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D)

ולפונקציה הזו אין גבול כש-x הולך לאפס.

[מנוי]

איך אתה רואה שלא קיימת סביבה של הנקודה (http://www.codecogs.com/gif.latex?x_0,y_0,z_0) שבה אין חילוץ Z כפונקציה של Y וX?

[אודי]

אתה מסוגל לקבל פונקציה מפורשת (עם נגזרת לא רציפה בראשית) מתוך חילוץ ישיר, אבל לא באמצעות משפט הפונקציות הסתומות כי משפט הפונקציות הסתומות מסתמך על רציפות הנגזרות.

[אודי]

אם אתה מעדיף דוגמא שבה אי אפשר לבצע חילוץ ישיר, הנה:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x,y,z)=x+ye%5E%7Bz%7D+z+x%5E2%5Csin(%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D)+y%5E2%5Csin(%5Cfrac%7B1%7D%7By%7D) עבור http://www.codecogs.com/gif.latex?(x,y,z)%20%5Cneq%20(0,0,0)

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?f(0,0,0)=0.

http://www.codecogs.com/gif.latex?f,_x(0,0,0)=%5Clim_%7B%5Cepsilon%5Crightarrow0%7D%5Cfrac%7B%5Cepsilon+%5Cepsilon%5E2%5Csin(%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cepsilon%7D)-0%7D%7B%5Cepsilon%7D=1

http://www.codecogs.com/gif.latex?f,_y(0,0,0)=1

http://www.codecogs.com/gif.latex?f,_z(0,0,0)=1

 

הפונקצייה דיפרנציאבלית ב-(0,0,0) כי:

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clim_%7B%5Cepsilon,h,k%5Crightarrow0%7D%5Cfrac%7B%5Cepsilon+%5Cepsilon%5E2%5Csin(%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cepsilon%7D)+he%5E%7Bk%7D+h%5E2%5Csin(%5Cfrac%7B1%7D%7Bh%7D)+k-0-%5Cepsilon-h-k%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cepsilon%5E2+h%5E2+k%5E2%7D%7D=0

אבל הנגזרות החלקיות לא רציפות שם כי לא בראשית:

http://www.codecogs.com/gif.latex?f,_x(x,y,z)=1+2x%5Csin(%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D)-%5Ccos(%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D)

http://www.codecogs.com/gif.latex?f,_y(x,y,z)=1+2y%5Csin(%5Cfrac%7B1%7D%7By%7D)-%5Ccos(%5Cfrac%7B1%7D%7By%7D)

ולפונקציות האלו אין גבול בראשית.

[אודי]

עכשיו ננסה לבדוק האם ניתן לחלץ את f כפונקציה סתומה, כלומר לקבל קשר חד ערכי בינה לבין הנגזרות שלה בקטע שכולל את הראשית. מתקבל מגזירה לפי x:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?1+ye%5E%7Bf(x,y)%7Df,_x(x,y)+f,_x(x,y)+2x%5Csin(%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D)-%5Ccos(%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D)=0

 

ולפי y:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?e%5E%7Bf(x,y)%7D+ye%5E%7Bf(x,y)%7Df,_y(x,y)+f,_y(x,y)+2y%5Csin(%5Cfrac%7B1%7D%7By%7D)-%5Ccos(%5Cfrac%7B1%7D%7By%7D)=0

 

על מנת שהביטויים האלו יגדירו פונקציה של x ו-y (קשר חד ערכי בין הפונקציה לנגזרות החלקיות שלה) בריבוע שמכיל את הראשית הם צריכים להיות רציפים או לפחות מוגדרים היטב בראשית. הם לא, כאמור.