כלל לייבניץ

[מנוי]

אני כנראה לא מספיק מבין את כלל לייבניץ,

במתנט מופיע השאלה הבאה (שאלה 1):

 

http://i.imgur.com/jfVNW5o.png

  עבור הפונקציה השמאלית שבשאלה 1,אני לא יכול להשתמש בכלל לייבניץ, כי על פי תנאי המשפט אני צריך שהתמונה של הפונקציות שנמצאות בגבולות של האינטגרל תהיה במלבן שבו האינטגרד היא פונקציה רציפה(כפונקציה של 2 משתנים).

הפונקציה התחתונה תמיד תחזיר ערכי X שהם אפס, המלבן לא יכול להכיל ערכי X שהם אפס, כי אז האינטגרד הוא לא פונקציה רציפה(הוא פשוט לא מוגדר עבור X=0, ולכן בפרט גם לא רציף).

 

בפונקציה הימנית על פניו אין בעיה ,כי לכל Y, אפשר יהיה למצוא מלבן שלא יכיל את הנקודות שבהם ערך ה-X הוא אפס.

 

 

 

יש דרך להצדיק את השימוש בכלל לייבניץ עבור הפונקציה השמאלית?

 

[אודי]

עבור הפונקציה השמאלית שבשאלה 1,אני לא יכול להשתמש בכלל לייבניץ, כי על פי תנאי המשפט אני צריך שהתמונה של הפונקציות שנמצאות בגבולות של האינטגרל תהיה במלבן שבו האינטגרד היא פונקציה רציפה(כפונקציה של 2 משתנים).

אני לא חושב שיש בעיית רציפות כי לאינטגרנד יש גבול ברור ב-x=0 - הוא יוצא y. אם יש נקודת אי רציפות כלשהיא היא סליקה ולא פוגעת באינטגרל.

 

הפונקציה התחתונה תמיד תחזיר ערכי X שהם אפס, המלבן לא יכול להכיל ערכי X שהם אפס, כי אז האינטגרד הוא לא פונקציה רציפה(הוא פשוט לא מוגדר עבור X=0, ולכן בפרט גם לא רציף).

מה? למה? מה הבעייה בהגדרה? n הוא חזקה חיובית, לא שבר. אין שום בעייה בהגדרה עבור אינטגרנד שמתאפס ואין גם בעייה בגזירה שלו.

[אודי]

בפונקציה הימנית על פניו אין בעיה ,כי לכל Y, אפשר יהיה למצוא מלבן שלא יכיל את הנקודות שבהם ערך ה-X הוא אפס.

לא ברור לי איך אם האינטגרציה על x היא תמיד מ-y- עד y. אתה חייב לעבור ב-x=0.

לי נראה פה שוב שהתשובה היא כמו לגבי הפונקציה השמאלית - נקודת הרציפות שיש שם היא סליקה והגבול של הפונקציה בה מוגדר היטב.

[מנוי]

 

הפונקציה התחתונה תמיד תחזיר ערכי X שהם אפס, המלבן לא יכול להכיל ערכי X שהם אפס, כי אז האינטגרד הוא לא פונקציה רציפה(הוא פשוט לא מוגדר עבור X=0, ולכן בפרט גם לא רציף).

מה? למה? מה הבעייה בהגדרה? n הוא חזקה חיובית, לא שבר. אין שום בעייה בהגדרה עבור אינטגרנד שמתאפס ואין גם בעייה בגזירה שלו.

 

 

כל השאלה שלי התייחסה לשאלה הראשונה.(הייתי צריך לחשוב שזה יכול ליצור בלבול).

התכוונתי לפונקציה שהיא הגבול התחתון של האיטנרגל(הפונקציה התחתונה), שהיא הפונקציה x=0.

עכשיו בשביל שאוכל להשתמש בכלל לייבניץ, לפי מה שנאמר קודם במתנט, צירכים להתקיימים התנאים הבאים:

 

http://i.imgur.com/FFICBlm.png

 

 

ניתן לראות שבמקרה שבו הפונקציה שנמצאת בגבול התחתון של האיטנרגל קבועה לx=0 והאינטגרד לא רציף באפס, אז המלבן הזה לא קיים.

מה אני מפספס פה?

[אודי]

כאמור נקודת אי רציפות סליקה לא נחשבת. גם לפונקציה הראשונה וגם לפונקצייה השנייה בשאלה הראשונה יש נקודת אי רציפות סליקה באפס. אם אתה מחליף את הערך הלא מוגדר באפס בגבול המוגדר באפס אתה מקבל שהפונקצייה רציפה, ולשתי הפונקציות יש גבול מוגדר.

אתה יכול לראות שלנגזרת שלהם לפי y בכלל אין בעייה באפס.

[מנוי]

כאמור נקודת אי רציפות סליקה לא נחשבת. גם לפונקציה הראשונה וגם לפונקצייה השנייה בשאלה הראשונה יש נקודת אי רציפות סליקה באפס. אם אתה מחליף את הערך הלא מוגדר באפס בגבול המוגדר באפס אתה מקבל שהפונקצייה רציפה, ולשתי הפונקציות יש גבול מוגדר.

אתה יכול לראות שלנגזרת שלהם לפי y בכלל אין בעייה באפס.

אני מסכים שאם אני מחליף את הפונקציה הישנה בפונקציה חדשה שאותה אני מגדיר בX=0 באופן אחר, אז אני מקבל פונקציה רציפה, ומכיוון ששינוי במספר סופי של נקודות לא משפיע על האינטגרל, אני מקבל שיויון באינטגרלים על 2 הפונקציות השונות.

עד פה הכול בסדר,

אבל באיזה זכות אני משתמש במשפט לייבניץ עבור הפונקציה הישנה ולא עבור הפונקציה החדשה?

[אודי]

אתה לא. אתה משתמש בו עבור הפונקצייה המתוקנת.

אבל מכיווון שהאינטגרלים על הפונקצייה המתוקנת והפונקציה המקורית נותנים את אותה פונקצייה (שווים), גם הנגזרת של האינטגרל לפי y על הפונקצייה המתוקנת שווה לנגזרת של האינטגרל על הפונקצייה הישנה לפי y.

...ולכן נקודת אי רציפות סליקה לא באמת משנה למשפט לייבניץ.

[מנוי]

מכיווון שהאינטגרלים של הפונקצייה המתוקנת והפונקציה המקורית שווים, גם הנגזרת שלהם לפי y שווה.

...ולכן נקודת אי רציפות סליקה לא באמת משנה למשפט לייבניץ.

נכון ,הנגזרת שלהם לפי Y שווה, אבל למה אני יכול להשתמש בנוסחאת של משפט לייבניץ למציאת הנגזרת הזאת, כאשר אני מציב בנוסחא את הפונקציה הישנה ,שלא עומדת בתנאי המשפט?

 

רגע של עברית:

אתה לא חושב שהניסוח בשאלה למעלה פשוט לא נכון?

כתוב:

"הצדק את השימוש במשפט לייבניץ עבור גזירה של הפוקנציות:..."

 

התשובה  שלי עבור 2 הפונקציות:

אי אפשר להצדיק את השימוש במשפט לייבניץ עבור הפונקציות, כי הפונקציות האלה אינן רציפות.

 

מה שכן, ניתן להגדיר פונקציה אחרת ורק אז לגזור את הפונקציות לפי Y.

האם אני צודק?

[אודי]

[אודי]

אי אפשר להצדיק את השימוש במשפט לייבניץ עבור הפונקציות, כי הפונקציות האלה אינן רציפות.

 

מה שכן, ניתן להגדיר פונקציה אחרת ורק אז לגזור את הפונקציות לפי Y.

האם אני צודק?

לא.

 

הנה התשובה המלאה:

 

יהי http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x,y) אינטגרנד עם נקודות אי רציפות סליקות (אבל נגזרת רציפה לפי y)  ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?g(x,y) אינטגרנד מתוקן שבו החלפנו את הערך בנקודות אי הרציפות הסליקות בגבול של הפונקציה f בהן.

אזי, אם

http://www.codecogs.com/gif.latex?F(y)=%5Cint_%7Bu(y)%7D%5E%7Bv(y)%7Df(x,y)%5C,dx

http://www.codecogs.com/gif.latex?G(y)=%5Cint_%7Bu(y)%7D%5E%7Bv(y)%7Dg(x,y)%5C,dx

נובע

http://www.codecogs.com/gif.latex?F(y)=G(y)

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?F'(y)=G'(y)

מכיוון שאת אגף ימין מותר ללא שום ספק לחשב באמצעות כלל לייבניץ, והחישוב שלו באמצעות כלל לייבניץ נותן את אותה תוצאה בדיוק שנותן החישוב של אגף שמאל עם אגף לייבניץ (עד כדי, שאם באגף שמאל אחד מהגבולות נמצא בנקודת אי רציפות סליקה צריך להחליף את הערך של הפונקציה בנקודה בערך הגבולי ואז מתקבלת אותה תוצאה), נובע שנקודת אי רציפות סליקה לא משנה לכלל לייבניץ תחת המניפולציה הזו.

[מנוי]

 

אי אפשר להצדיק את השימוש במשפט לייבניץ עבור הפונקציות, כי הפונקציות האלה אינן רציפות.

 

מה שכן, ניתן להגדיר פונקציה אחרת ורק אז לגזור את הפונקציות לפי Y.

האם אני צודק?

לא.

 

הנה התשובה המלאה:

 

יהי http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x,y) אינטגרנד עם נקודות אי רציפות סליקות (אבל נגזרת רציפה לפי y)  ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?g(x,y) אינטגרנד מתוקן שבו החלפנו את הערך בנקודות אי הרציפות הסליקות בגבול של הפונקציה f בהן.

אזי, אם

http://www.codecogs.com/gif.latex?F(y)=%5Cint_%7Bu(y)%7D%5E%7Bv(y)%7Df(x,y)%5C,dx

http://www.codecogs.com/gif.latex?G(y)=%5Cint_%7Bu(y)%7D%5E%7Bv(y)%7Dg(x,y)%5C,dx

נובע

http://www.codecogs.com/gif.latex?F(y)=G(y)

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?F'(y)=G'(y)

מכיוון שאת אגף ימין מותר ללא שום ספק לחשב באמצעות כלל לייבניץ, והחישוב שלו באמצעות כלל לייבניץ נותן את אותה תוצאה בדיוק שנותן החישוב של אגף שמאל עם אגף לייבניץ (עד כדי, שאם באגף שמאל אחד מהגבולות נמצא בנקודת אי רציפות סליקה צריך להחליף את הערך של הפונקציה בנקודה בערך הגבולי ואז מתקבלת אותה תוצאה), נובע שנקודת אי רציפות סליקה לא משנה לכלל לייבניץ תחת המניפולציה הזו.

האם זה לא אומר בעצם שאתה לא משתמש בכלל לייבניץ עבור הפונקציה הישנה אלא עבור הפונקציה החדשה ,ורק בדרך הזאת אתה מצליח לגזור את הפוקציה לפי כל Y?

 

 

 

עריכה:

נראה לי שהבנתי, אתה גוזר את הפונקציה הנתונה באמצעות כך שאתה מגדיר פונקציה חדשה ומפעיל עליה את כלל לייבניץ, ומצדיק את הפעולה הזאת בכל ששינוי ערך הפונקציה במספר סופי של נקודות, לא משפיע על ערך האינטרגל. אני מבין נכון?

[מנוי]

...

[אודי]

כן. יוצא שבדרך אני מצדיק את השימוש בכלל לייבניץ גם לפונקציה הישנה, במובן ובאופן שציינתי.

[מנוי]

ממש תודה!