נגזרות מכוונות חדוא 2

[מנוי]

אני מנסה להוכיח את הטענה שאני בעצמי לא בטוח שהיא נכונה:

אם כל הנגזרות המכוונות של הפונקציה קיימות ושוות לאותו ערך, אז הפונקציה היא בהכרח דיפרציאבילית ,וכל הנגזרוות המכוונות שוות לאפס.

 

איך אפשר לגשת לדבר הזה?

[אודי]

יותר מדוייק למטה

[אודי]

נתבונן בנגזרת מכוונת בשני כיוונים מנוגדים, http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Chat%7Bn%7D ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?-%5Chat%7Bn%7D. מהנתון נובע ששתי הנגזרות המכוונות זהות:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clim_%7Bh%20%5Crightarrow%200%7D%20%5Cfrac%7Bf(%5Cvec%7Bx%7D+h%5Chat%7Bn%7D)-f(%5Cvec%7Bx%7D)%7D%7Bh%7D=%5Clim_%7Bh%20%5Crightarrow%200%7D%20%5Cfrac%7Bf(%5Cvec%7Bx%7D-h%5Chat%7Bn%7D)-f(%5Cvec%7Bx%7D)%7D%7Bh%7D

 

מכאן נובע בפרט:

א. הנגזרות החלקיות רציפות (עם בחירת n בכיוון אחד הצירים אפשר לקבל באגף שמאל את הגבול החד צדדי העליון ובאגף ימין את הגבול החד צדדי התחתון לנגזרת החלקית בכיוון המבוקש)

ב. הנגזרות החלקיות שוות לאפס (מהעברת אגפים, צמצום ובחירת n המתאים ניתן לקבל שפעמיים הנגזרת החלקית שווה לאפס).

 

מ-א. נובע שהפונקציה דיפרנציאבילית וכל הברדק הזה היה מיותר כי היה אפשר להשתמש במכפלה הסקלרית http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cnabla%20f%20%5Ccdot%20%5Chat%7Bn%7D כדי לכתוב את הנגזרת המכוונת במקום הגבול המסורבל הזה.

 

אגב, אם בסעיף ב' אתה לא משוכנע שאפשר להעביר אגפים ולצמצם ביטויים שמופיעים מתחת לגבול, אז אחרי סעיף א' אתה יכול לכתוב מחדש את השוויון בין הנגזרות המכוונות באמצעות המכפלה הסקלרית ולקבל מייד:

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cnabla%20f%20%5Ccdot%20%5Chat%7Bn%7D=-%5Cnabla%20f%20%5Ccdot%20%5Chat%7Bn%7D=0

[מנוי]

נתבונן בנגזרת מכוונת בשני כיוונים מנוגדים, http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Chat%7Bn%7D ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?-%5Chat%7Bn%7D. מהנתון נובע ששתי הנגזרות המכוונות זהות:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clim_%7Bh%20%5Crightarrow%200%7D%20%5Cfrac%7Bf(%5Cvec%7Bx%7D+h%5Chat%7Bn%7D)-f(%5Cvec%7Bx%7D)%7D%7Bh%7D=%5Clim_%7Bh%20%5Crightarrow%200%7D%20%5Cfrac%7Bf(%5Cvec%7Bx%7D-h%5Chat%7Bn%7D)-f(%5Cvec%7Bx%7D)%7D%7Bh%7D

 

.....

ב. הנגזרות החלקיות שוות לאפס (מהעברת אגפים, צמצום ובחירת n המתאים ניתן לקבל שפעמיים הנגזרת החלקית שווה לאפס).

......

תוכל בבקשה לפרט על הדרך הזאת להראות שאם כל הנגזרות  החלקיות קיימות ושוות, אז הן בהכרח שוות לאפס?

[אודי]

הגענו למסקנה מסעיף א' שהפונקציה דיפרנציאבלית כי הנגזרות החלקיות שלה רציפות.

לכן ניתן לבטא את הנגזרת המכוונת בכיוון http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Chat%7Bn%7D כ:

http://www.codecogs.com/gif.latex?D_%7B%5Chat%7Bn%7D%7Df=%5Cnabla%20f%20%5Ccdot%20%5Chat%7Bn%7D

 

ואת הנגזרת המכוונת בכיוון המנוגד כ:

http://www.codecogs.com/gif.latex?D_%7B-%5Chat%7Bn%7D%7Df=%5Cnabla%20f%20%5Ccdot%20-%5Chat%7Bn%7D=-%5Cnabla%20f%20%5Ccdot%20%5Chat%7Bn%7D

 

מכיוון שכל הנגזרות המכוונת שוות, בפרט:

http://www.codecogs.com/gif.latex?D_%7B%5Chat%7Bn%7D%7Df=D_%7B-%5Chat%7Bn%7D%7Df

 

או:

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cnabla%20f%20%5Ccdot%20%5Chat%7Bn%7D=-%5Cnabla%20f%20%5Ccdot%20%5Chat%7Bn%7D.

 

מהשוויון האחרון נובע ישירות http://www.codecogs.com/gif.latex?D_%7B%5Chat%7Bn%7D%7Df=%5Cnabla%20f%20%5Ccdot%20%5Chat%7Bn%7D=0, ומכיוון שכל הנגזרות המכוונות שוות כולן מתאפסות.

[מנוי]

פרטתי בהמשך אותו פוסט, אנסה בניסוח אחר.

 

הגענו למסקנה מסעיף א' שהפונקציה דיפרנציאבלית כי הנגזרות החלקיות שלה רציפות.

לכן ניתן לבטא את הנגזרת המכוונת בכיוון http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Chat%7Bn%7D כ:

http://www.codecogs.com/gif.latex?D_%7B%5Chat%7Bn%7D%7Df=%5Cnabla%20f%20%5Ccdot%20%5Chat%7Bn%7D

 

ואת הנגזרת המכוונת בכיוון המנוגד כ:

http://www.codecogs.com/gif.latex?D_%7B-%5Chat%7Bn%7D%7Df=%5Cnabla%20f%20%5Ccdot%20-%5Chat%7Bn%7D=-%5Cnabla%20f%20%5Ccdot%20%5Chat%7Bn%7D

 

מכיוון שכל הנגזרות המכוונת שוות, בפרט http://www.codecogs.com/gif.latex?D_%7B%5Chat%7Bn%7D%7Df=D_%7B-%5Chat%7Bn%7D%7Df או http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cnabla%20f%20%5Ccdot%20%5Chat%7Bn%7D=-%5Cnabla%20f%20%5Ccdot%20%5Chat%7Bn%7D.

 

מהשוויון האחרון נובע ישירות http://www.codecogs.com/gif.latex?D_%7B%5Chat%7Bn%7D%7Df=%5Cnabla%20f%20%5Ccdot%20%5Chat%7Bn%7D=0, ומכיוון שכל הנגזרות המכוונות שוות כולן מתאפסות.

כן, את זה ראיתי,

אבל בסעיף ב' רמזת שישנה עוד דרך להוכיח שכל הנגזרות החלקיות הן אפס, מבלי להסתמך על דיפרציאבילית של הפונקציה. רציתי להבין אותה.

[אודי]

זו דרך שהלגיטמציה המתמטית שלה עשוייה להיות מפוקפקת כי היא מסתמכת על החלפת סדר בין חיבור/חיסור/חילוק ולקיחת גבול, מה שניתן לביצוע לזכרוני אבל בתנאים מסויימים שאני לא זוכר אותם כרגע ולא ברור לי אם אפשר להניח שמתקיימים פה.

הדרך השנייה שנתתי בטוח עובדת.

 

בכל מקרה, מתחילים בשוויון בין שני הגבולות שמגדירים את הנגזרות החלקיות בכיוון n ו-n-:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clim_%7Bh%20%5Crightarrow%200%7D%20%5Cfrac%7Bf(%5Cvec%7Bx%7D+h%5Chat%7Bn%7D)-f(%5Cvec%7Bx%7D)%7D%7Bh%7D=%5Clim_%7Bh%20%5Crightarrow%200%7D%20%5Cfrac%7Bf(%5Cvec%7Bx%7D-h%5Chat%7Bn%7D)-f(%5Cvec%7Bx%7D)%7D%7Bh%7D

 

מעבירים את אגף ימין לאגף שמאל ומקבלים:

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clim_%7Bh%20%5Crightarrow%200%7D%20%5Cfrac%7Bf(%5Cvec%7Bx%7D+h%5Chat%7Bn%7D)-f(%5Cvec%7Bx%7D)-(f(%5Cvec%7Bx%7D-h%5Chat%7Bn%7D)-f(%5Cvec%7Bx%7D)))%7D%7Bh%7D=0

 

או אחרי צמצום http://www.codecogs.com/gif.latex?f(%5Cvec%7Bx%7D):

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clim_%7Bh%20%5Crightarrow%200%7D%20%5Cfrac%7Bf(%5Cvec%7Bx%7D+h%5Chat%7Bn%7D)-f(%5Cvec%7Bx%7D-h%5Chat%7Bn%7D)%7D%7Bh%7D=0

 

מה שיש באגף שמאל הוא בדיוק פעמיים הנגזרת המכוונת בנקודה בכיוון n, ולכן נובע שהיא מתאפסת.

[מנוי]

זו דרך שהלגיטמציה המתמטית שלה עשוייה להיות מפוקפקת כי היא מסתמכת על החלפת סדר בין חיבור/חיסור/חילוק ולקיחת גבול, מה שניתן לביצוע לזכרוני אבל בתנאים מסויימים שאני לא זוכר אותם כרגע ולא ברור לי אם אפשר להניח שמתקיימים פה.

הדרך השנייה שנתתי בטוח עובדת.

 

בכל מקרה, מתחילים בשוויון בין שני הגבולות שמגדירים את הנגזרות החלקיות בכיוון n ו-n-:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clim_%7Bh%20%5Crightarrow%200%7D%20%5Cfrac%7Bf(%5Cvec%7Bx%7D+h%5Chat%7Bn%7D)-f(%5Cvec%7Bx%7D)%7D%7Bh%7D=%5Clim_%7Bh%20%5Crightarrow%200%7D%20%5Cfrac%7Bf(%5Cvec%7Bx%7D-h%5Chat%7Bn%7D)-f(%5Cvec%7Bx%7D)%7D%7Bh%7D

 

מעבירים את אגף ימין לאגף שמאל ומקבלים:

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clim_%7Bh%20%5Crightarrow%200%7D%20%5Cfrac%7Bf(%5Cvec%7Bx%7D+h%5Chat%7Bn%7D)-f(%5Cvec%7Bx%7D)-(f(%5Cvec%7Bx%7D-h%5Chat%7Bn%7D)-f(%5Cvec%7Bx%7D)))%7D%7Bh%7D=0

 

או אחרי צמצום http://www.codecogs.com/gif.latex?f(%5Cvec%7Bx%7D):

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clim_%7Bh%20%5Crightarrow%200%7D%20%5Cfrac%7Bf(%5Cvec%7Bx%7D+h%5Chat%7Bn%7D)-f(%5Cvec%7Bx%7D-h%5Chat%7Bn%7D)%7D%7Bh%7D=0

 

מה שיש באגף שמאל הוא בדיוק פעמיים הנגזרת המכוונת בנקודה בכיוון n, ולכן נובע שהיא מתאפסת.

הבנתי, תודה!

[אודי]

טוב, הזכרתי לעצמי את התנאים - למעשה יש לנו פה הפרש של גבולות שהפכתי לגבול של ההפרש. זה תקין אם שני הגבולות קיימים וסופיים.

....נראה לי שאפשר להניח את זה מהנתונים.

[מנוי]

 

נתבונן בנגזרת מכוונת בשני כיוונים מנוגדים, http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Chat%7Bn%7D ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?-%5Chat%7Bn%7D. מהנתון נובע ששתי הנגזרות המכוונות זהות:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clim_%7Bh%20%5Crightarrow%200%7D%20%5Cfrac%7Bf(%5Cvec%7Bx%7D+h%5Chat%7Bn%7D)-f(%5Cvec%7Bx%7D)%7D%7Bh%7D=%5Clim_%7Bh%20%5Crightarrow%200%7D%20%5Cfrac%7Bf(%5Cvec%7Bx%7D-h%5Chat%7Bn%7D)-f(%5Cvec%7Bx%7D)%7D%7Bh%7D

 

מכאן נובע בפרט:

א. הנגזרות החלקיות רציפות (עם בחירת n בכיוון אחד הצירים אפשר לקבל באגף שמאל את הגבול החד צדדי העליון ובאגף ימין את הגבול החד צדדי התחתון לנגזרת החלקית בכיוון המבוקש)

לא מדויק, הפונקציה אמנם רציפה כשהולכים על ישרים, אבל זה לא סוג המסלול היחיד האפשרי להוכחת רציפית

 

א' כאמור לא מוכיח רציפות, למעשה הטענה שלי לא היית נכונה.

דוגמא נגדית:

http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x,y)=%5Cfrac%7Bx%5E%7B12/5%7D+y%5E%7B6/5%7D%7D%7Bx%5E4+y%5E2%7D

[אודי]

אתה מדבר על הראשית, כן? הדוגמא הנגדית שלך מתבדרת יחד עם כל הנגזרות שלה בראשית ולכן ברור שהיא לא דיפרנציאבלית. לא ייתכן קירוב ליניארי לפונקציה בנקודה שבה היא מתבדרת*.

הנחתי מראש שהשאלה מתייחסת לנגזרות מכוונות שוות סופיות כי זו השאלה היחידה שיש טעם לשאול (אין גם משמעות לשוויון בין אינסופים).

גם ציינתי במפורש את ההנחה הזו ושההוכחה לא תקפה לנגזרות אינסופיות:

טוב, הזכרתי לעצמי את התנאים - למעשה יש לנו פה הפרש של גבולות שהפכתי לגבול של ההפרש. זה תקין אם שני הגבולות קיימים וסופיים.

....נראה לי שאפשר להניח את זה מהנתונים.

תמצא דוגמא נגדית עם ערך סופי ונגזרות מכוונות סופיות בנקודה ואז נדבר.

 

* בהנחה שלא מדובר בנקודה סליקה שתקעת בה אינסוף באופן מלאכותי. זו לא נחשבת התבדרות לצורך העניין.

[מנוי]

....

[אודי]

לא הבנתי את הטענה. אם כל הנגזרות המכוונות שלה הן אפס בפרט נובע שהנגזרות החלקיות מתאפסות בשני הכיוונים ולכן רציפות *

מצאת פונקציה שהנגזרות החלקיות שלה רציפות אבל היא לא דיפרנציאבלית?

:scratch:

איך אתה רואה שהיא לא דיפרנציאבלית?

 

* עד כדי נקודה סליקה שלא משנה וניתנת לתיקון, בדיוק כמו בפונקצייה עצמה. מכיוון שכל הנגזרות החד צדדיות שואפות לאפס בראשית וממילא הנגזרת ה"פורמלית" לא מוגדרת שם, אם תתפור בראשית את הנגזרות ע"י השתלת אפס תקבל שגם הנגזרות החלקיות הן פונקציה רציפה.

[אודי]

...

[אודי]

אוקי, נדמה לי שמצאתי דוגמא נגדית ואת הטעות בהוכחה המקורית שלי. הדוגמא הנגדית היא

http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x,y)=%5Csqrt%7Bx%5E2+y%5E2%7D=r

 

הפונקצייה רציפה בראשית וכל הנגזרות המכוונות שלה שם קיימות, שוות וסופיות. 

...אבל הן שוות ל-1, והיא לא דיפרנציאבלית שם. הנגזרות החלקיות שלה לא קיימות ולא ניתנות לתפירה כי הנגזרות החד צדדיות שלהן הפוכות בסימנם (1 לנגזרת החד"צ הימנית ו-1- לנגזרת החד"צ השמאלית).

נתבונן בנגזרת מכוונת בשני כיוונים מנוגדים, http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Chat%7Bn%7D ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?-%5Chat%7Bn%7D. מהנתון נובע ששתי הנגזרות המכוונות זהות:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clim_%7Bh%20%5Crightarrow%200%7D%20%5Cfrac%7Bf(%5Cvec%7Bx%7D+h%5Chat%7Bn%7D)-f(%5Cvec%7Bx%7D)%7D%7Bh%7D=%5Clim_%7Bh%20%5Crightarrow%200%7D%20%5Cfrac%7Bf(%5Cvec%7Bx%7D-h%5Chat%7Bn%7D)-f(%5Cvec%7Bx%7D)%7D%7Bh%7D

 

מכאן נובע בפרט:

א. הנגזרות החלקיות רציפות (עם בחירת n בכיוון אחד הצירים אפשר לקבל באגף שמאל את הגבול החד צדדי העליון ובאגף ימין את הגבול החד צדדי התחתון לנגזרת החלקית בכיוון המבוקש)

המשפט בסוגריים לא נכון. באגף שמאל אכן מקבלים את הגבול החד צדדי העליון אבל באגף ימין מקבלים את מינוס הגבול החד צדדי התחתון.

[אודי]

וכמובן שגם זה לא עובד:

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clim_%7Bh%20%5Crightarrow%200%7D%20%5Cfrac%7Bf(%5Cvec%7Bx%7D+h%5Chat%7Bn%7D)-f(%5Cvec%7Bx%7D-h%5Chat%7Bn%7D)%7D%7Bh%7D=0

 

מה שיש באגף שמאל הוא בדיוק פעמיים הנגזרת המכוונת בנקודה בכיוון n, ולכן נובע שהיא מתאפסת.

התבוננות בדוגמא הנגדית שלי מראה שהדבר באגף שמאל לא חייב להיות פעמיים הנגזרת המכוונת.

[מנוי]

 

 

 

 

"אוקי, נדמה לי שמצאתי דוגמא נגדית ואת הטעות בהוכחה המקורית שלי. הדוגמא הנגדית היא

http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x,y)=%5Csqrt%7Bx%5E2+y%5E2%7D=r

 

הפונקצייה רציפה בראשית וכל הנגזרות המכוונות שלה שם קיימות, שוות וסופיות. 

...אבל הן שוות ל-1, והיא לא דיפרנציאבלית שם. הנגזרות החלקיות שלה לא קיימות ולא ניתנות לתפירה כי הנגזרות החד צדדיות שלהן הפוכות בסימנם (1 לנגזרת החד"צ הימנית ו-1- לנגזרת החד"צ השמאלית)."

 

 

אני מצרף סריקה של הוכחה שהפונקציה הזאת אין לה נגזרת מכוונת לאף כיוון:

 

http://i.imgur.com/L1UBP87.jpg

 

 

בנוסף אני מצרף 3 דפי סריקה של הוכחה שהפונקציה

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x,y)=%5Cfrac%7Bx%5E%7B12/5%7D*y%5E%7B6/5%7D%7D%7Bx%5E4+y%5E2%7D (בראשית היא מוגדרת אפס).

בעלת נגזרות מכוונות לכל כיוון אך לא דיפרנציאבילית:

 

 

http://i.imgur.com/YitWhiv.jpg

 

http://i.imgur.com/aP9XBkP.jpg

 

 

http://i.imgur.com/DRbuiNb.jpg

[אודי]

- ההוכחה לאי קיום הנגזרת המכוונת לא נכונה. h הוא גודל חיובי לפי הגדרת הנגזרת המכוונת (כי http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x+h%5Chat%7Bn%7D) מתאים לנקודה שנמצאת בכיוון n), ולכן הגבול לערך מוחלט של h חלקי h קיים ושווה ל-1. אם תרצה, הנגזרת המכוונת מוגדרת עם הגבול h הולך ל-0 מימין ולא סתם h הולך לאפס. אם זה לא נרשם כגבול חד צדדי זה רק בגלל המוסכמה ש-h הוא גודל חיובי.

- לגבי אי הדיפרנציאבליות, מקבל, למרות שעל פניו יש פה פונקציה עם נגזרות חלקיות רציפות בנקודה שאינה דיפרנציאבלית ואני לא מבין איך זה אפשרי.

[מנוי]

- ההוכחה לאי קיום הנגזרת המכוונת לא נכונה. h הוא גודל חיובי לפי הגדרת הנגזרת המכוונת, ולכן הגבול לערך מוחלט של h חלקי h קיים ושווה ל-1. אם תרצה, הנגזרת המכוונת מוגדרת עם הגבול h הולך ל-0 מימין ולא סתם h הולך לאפס. אחרת אתה מקבל את הנגזרת המכוונת בכיוון ההפוך...

- לגבי אי הדיפרנציאבליות, מקבל.

תמיד ראיתי בהרצאות שh הולך לאפס משני הכיוונים(כלומר תמיד בודקים את הגבול גם אם הולכים בכיוון ההפוך לוקטור), אחרת הנגזרת המכוונת מאבדת מהפרקטיות שלה.

למשל אי אפשר להגיד שהניגזרת המכוונת היא מקרה פרטי של ניגזרת חלקית.(אפשר להגיד שהיא מקרה פרטי של נגזרת חלקית חד צדדית ,אבל זה לא הופיע בקורס חדוא1ת).

למשל בדוגמא שלך למעלה http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x,y)=%5Csqrt%7Bx%5E2+y%5E2%7D, אם עושים נגזרות חלקית לפי x, אז מקבלים שאם הולכים לכיוון X החיובי מקבלים 1 ואם הולכים בכיוון X השלילי מקבלים 1-, אז במקרה כזה לא יהיה נכון להגיד שהנגזרת המכוונת היא כמו נגזרת חלקית. 

[אודי]

תמיד ראיתי בהרצאות שh הולך לאפס משני הכיוונים(כלומר תמיד בודקים את הגבול גם אם הולכים בכיוון ההפוך לוקטור), אחרת הנגזרת המכוונת מאבדת מהפרקטיות שלה.

אני תמיד ראיתי שהוא חיובי. כנראה לא הלכנו לאותן הרצאות.

 

למשל בדוגמא שלך למעלה http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x,y)=%5Csqrt%7Bx%5E2+y%5E2%7D, אם עושים נגזרות חלקית לפי x, אז מקבלים שאם הולכים לכיוון X החיובי מקבלים 1 ואם הולכים בכיוון X השלילי מקבלים 1-, אז במקרה כזה לא יהיה נכון להגיד שהנגזרת המכוונת היא כמו נגזרת חלקית. 

אבל הנגזרת בכיוון x- באמת לא אמורה להיות שווה לנגזרת החלקית לפי x אלא מינוס שלה. זה נכון לכל פונקציה, כולל פונקציה דיפרנציאבלית.

בדוגמא שלי הנגזרת החלקית החד צדדית הימנית היא 1, השמאלית היא 1- והנגזרת המכוונת בכיוון x החיובי והשלילי היא 1.

[מנוי]

 

למשל בדוגמא שלך למעלה http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x,y)=%5Csqrt%7Bx%5E2+y%5E2%7D, אם עושים נגזרות חלקית לפי x, אז מקבלים שאם הולכים לכיוון X החיובי מקבלים 1 ואם הולכים בכיוון X השלילי מקבלים 1-, אז במקרה כזה לא יהיה נכון להגיד שהנגזרת המכוונת היא כמו נגזרת חלקית. 

אבל הנגזרת בכיוון x- באמת לא אמורה להיות שווה לנגזרת החלקית לפי x אלא מינוס שלה. זה נכון לכל פונקציה, כולל פונקציה דיפרנציאבלית.

איפה קראת שהגדרה של נגזרת חלקית בכיוון X, היא תמיד בכיוון X החיובי?

זוהי ההגדרה לפי ויקפדיה:

 

http://en.wikipedia.org/wiki/Partial_derivative

גם פה בודקים נגזרות חלקית משני הכיוונים.

וזאת ההגדרה שראיתי בכל מקור עד כה.

 

לא נתקלתי באף הגדרה של נגזרת חלקית שמסתכלים רק על כיוון X החיובי.

למעשה, לפי איך שאני למדתי, הפונקציה שיש לה נגזרות חד צדדיות שונות כשגוזרים אותה לפי X, היא בהגדרה איננה דיפרנציאבילית, כי אין לה נגזרת חלקית בכיוון X.

 

גם אם אני מדמיין את הגרף של פונקציה דיפרנציאבילית, זה ששיפועי המשיקים לאורך ציר X שונים, מראה שבציר זה יש לה שפיץ, ולכן לא ייתכן שיהיה לה שמה מישור משיק.

[אודי]

קרא את המשפט שלי שמופיע אחרי המשפט שצטטת ותראה שלא דברתי בכלל על ההגדרה של נגזרת חלקית. נגזרת חלקית צריכה להיות דו צדדית כדי להיות קיימת.

דברתי על הגדרת הנגזרת המכוונת והקשר בינה לבין הגדרת הנגזרת החלקית החד צדדית.

 

הנגזרת המכוונת בכיוון x+ היא הנגזרת החלקית החד צדדית הימנית בנקודה

הנגזרת המכוונת בכיוון x- היא מינוס הנגזרת החלקית החד צדדית השמאלית בנקודה.

 

עבור h>0, נגזרת מכוונת בכיוון x- מוגדרת כך:

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clim_%7Bh%20%5Crightarrow%200%5E+%7D%20%5Cfrac%7Bf(%5Cvec%7Bx%7D-h%5Chat%7Bx%7D)-f(%5Cvec%7Bx%7D)%7D%7Bh%7D

והנגזרת החלקית החד צדדית השמאלית בכיוון x יוצאת כך:

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clim_%7Bh%20%5Crightarrow%200%5E+%7D%20%5Cfrac%7Bf(%5Cvec%7Bx%7D)-f(%5Cvec%7Bx%7D-h%5Chat%7Bx%7D)%7D%7Bh%7D

 

שוב, לפי מה שאני מכיר הגדרת הנגזרת המכוונת היא סוג של הכללה להגדרה של נגזרת חד צדדית, ולכן לפונקציה שלי יש נגזרות מכוונות למרות שאין נגזרת חלקית דו"צ.

[מנוי]

קרא את המשפט שלי שמופיע אחרי המשפט שצטטת ותראה שלא דברתי בכלל על ההגדרה של נגזרת חלקית. נגזרת חלקית צריכה להיות דו צדדית כדי להיות קיימת.

דברתי על הגדרת הנגזרת המכוונת והקשר בינה לבין הגדרת הנגזרת החלקית החד צדדית.

 

הנגזרת המכוונת בכיוון x+ היא הנגזרת החלקית החד צדדית הימנית בנקודה

הנגזרת המכוונת בכיוון x- היא מינוס הנגזרת החלקית החד צדדית השמאלית בנקודה.

 

עבור h>0, נגזרת מכוונת בכיוון x- מוגדרת כך:

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clim_%7Bh%20%5Crightarrow%200%5E+%7D%20%5Cfrac%7Bf(%5Cvec%7Bx%7D-h%5Chat%7Bx%7D)-f(%5Cvec%7Bx%7D)%7D%7Bh%7D

והנגזרת החלקית החד צדדית השמאלית בכיוון x יוצאת כך:

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clim_%7Bh%20%5Crightarrow%200%5E+%7D%20%5Cfrac%7Bf(%5Cvec%7Bx%7D)-f(%5Cvec%7Bx%7D-h%5Chat%7Bx%7D)%7D%7Bh%7D

 

שוב, לפי מה שאני מכיר הגדרת הנגזרת המכוונת תואמת להגדרה של נגזרת חד צדדית, ולכן לפונקציה שלי יש נגזרות מכוונות למרות שאין נגזרת חלקית דו"צ.

אה, אוקי.

מסכים, אצלינו בקורס פשוט הגדירו את הנגזרת המכוונת באופן כזה שההגדרה תתאים לנגזרת חלקית ולא לנגזרת חלקית חד-צדדית.

[אודי]

אני לא זוכר את האבחנה בין נגזרת מכוונת חד"צ ודו"צ, אבל אולי היא קיימת ושכחתי אותה