הרכבה של פונקציות דיפרנציאביליות

[מנוי]

אם http://www.codecogs.com/gif.latex?f(u,v) היא פונקציה דיפרנציאבילית לכל u,v, ואני מרכיב אותה על הפונקציות http://www.codecogs.com/gif.latex?u(x,y),%20v(x,y) כך ששתי הפונקציות דיפרנציאביליות לכל x,y. האם הפונקציה המורכבתhttp://www.codecogs.com/gif.latex?g(x,y) כאשר http://www.codecogs.com/gif.latex?g(x,y)=f(u(x,y),v(x,y)) היא גם דיפרנציאבילית לכלל x,y?

[אודי]

טל"ח

[מנוי]

כן.

- אם f,u,v גזירות בכל נקודה, מותר להשתמש בכלל השרשרת כדי לגזור את g.

- מהרגע שאתה משתמש בכלל השרשרת כדי לגזור את g אתה רואה שהנגזרות החלקיות שלה מורכבות ממכפלת נגזרות חלקיות של f,u,v

- מכיוון שהנגזרות החלקיות של f,u,v קיימות ורציפות, נובע שגם הנגזרות החלקיות של g קיימות רציפות

- אם הנגזרות החלקיות של g קיימות ורציפות היא דיפרנציאבלית.

לגבי הניגזרות החלקיות של F לא ידוע לך שהן רציפות.

ייתכן פונקציה דיפרנציאבילית, שניגזרות החלקיות שלה אינן רציפות.

 

דוגמא נגדית:

http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x,y) כאשר בנקודה http://www.codecogs.com/gif.latex?(x,y)=(0,0) הפונקציה מוגדרת בתור 0, ובכל נקודה אחרת הפונקציה מוגדרת בתור:http://www.codecogs.com/gif.latex?(x%5E2+y%5E2)*sin(%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2+y%5E2%7D%7D), אזי בנקודה (0,0) הפונקציה דיפרנציאבילית, אך הניגזרות החלקיות שלה שמה אינן רציפות.

[אודי]

אוקי. אבל עדיין מהרגע שכלל השרשרת תקף אתה עדיין יכול לקבל את הדיפרנציאל של g ישירות מתוך הדיפרנציאלים של f,u,v, כי בכל נקודה:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?df=%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20u%7Ddu+%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20v%7Ddv

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?du=%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7Ddx+%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7Ddy

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?dv=%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20x%7Ddx+%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20y%7Ddy

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?dg=(%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20u%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7D+%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20v%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20x%7D)dx+(%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20u%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D+%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20v%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20y%7D)dy