מישור משיק לגרף של פונקציה עם 2 משתנים

[מנוי]

לפי ההגדרה הפונקציה גזירה אמ"מ מתקיים:

http://i.imgur.com/1RXYUAm.jpg

 

 

 

 

 

למדנו משפט שאם הפונקציה http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x,y)  גזירה בנקודה כלשהי, אז קיים מישור המשיק לה בנקודת ההשקה כך שהמישור אינו מקביל לציר Z.

 

עכשיו נתבונן בהגדרה של הדיפרנציאבליות, לפי ההגדרה אפשרי למשל שhttp://www.codecogs.com/gif.latex?%5CDelta%20x יהיה בסדר גודל יותר גדול מhttp://www.codecogs.com/gif.latex?%5CDelta%20y ;והפונקציה עדיין תהיה דיפרנציאבילית, אך במקרה זה המישור המשיק הוא דווקא מקביל לציר z.(כי http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CDelta%20y יכול להתאפס הרבה לפני שהשארית תתאפס).

 

למה מקרה זה לא ייתכן?

[אודי]

איך קשור המישור המשיק להתאפסות של http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CDelta%20y?

:scratch:

המישור המשיק קשור לגרדיינט בנקודה (שניצב למישור המשיק), וקל לראות שרכיב y של הגרדיינט לא מתאפס, כי הוא פשוט B (ו-B שונה מאפס לפי ההגדרה הזו).

לא ייתכן שהמישור המשיק מקביל לציר z כי רכיבי x, y ו-z של הגרדיינט שונים מאפס.