אודי

א. כן. בציר האנכי יש לך כח חיצוני - כבידה.
 
ב. מה זה "שימור אנרגיה קינטית"? אתה מתכוון לשימור אנרגיה? מותר לך להשתמש בו (כל הכוחות שפועלים בבעייה משמרים או לא עושים עבודה), אבל הוא נותן לך רק משוואה אחת. אתה צריך להשתמש בשימור תנע. שים לב לא לשכוח את האנרגיה הפוטנציאלית שיש למסה הקטנה בקצה המדרון. סה"כ מתקבלות שתי משוואות:
 
משימור תנע בציר x נובע (http://www.codecogs.com/gif.latex?u_2 היא מהירות העגלה כשהמסה הקטנה עוזבת אותה):
http://www.codecogs.com/gif.latex?2m%5Csqrt%7BgR%7D=3mu_2+mu_2
http://www.codecogs.com/gif.latex?u_2=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Csqrt%7BgR%7D
שים לב שהשתמשתי בהנחה שהמהירות של המסה הקטנה בציר x זהה לזו של העגלה בנקודת העזיבה כי אחרת המהירות של המסה הקטנה במערכת העגלה מכילה רכיב x, וזה לא ייתכן (הכח הנורמלי צריך לחסל אותה במערכת הזו).
 
משימור אנרגיה:
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?2mgR=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dmu_1%5E2+%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7Dmu_2%5E2+mgR
ולאחר הצבת http://www.codecogs.com/gif.latex?u_2 וכינוס אברים מתקבל:
http://www.codecogs.com/gif.latex?u_1=%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B5gR%7D%7B4%7D%7D
 
והרכיב בכיוון y של מהירות המסה הקטנה יוצא (מפיתגורס):
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?u_%7B1,y%7D=%5Csqrt%7BgR%7D
 
ג. הכח הנורמלי חייב להיות אפס מכיוון שהוא התגובה לכח שמפעילה המסה הקטנה על הגדולה, ובקצה המדרון המסה הקטנה לא מפעילה שום כוח על הגדולה כי כל mg שלה פועל בכיוון המשיק למשטח.
 
ד. מכיוון שהמהירויות בציר x של שתי המסות זהות בשיגור והחל מהשיגור לא פועלים עליהן כוחות בציר הזה, ברור שהמסה הקטנה תחזור בדיוק לאותה נקודה בנפילה.
 
ה. שוב, לא ברור לי מהו שקול הכוחות בכיוון הרדיאלי שאתה מדבר עליו. אבל רכיב x של מהירות מרכז המסה קבוע בבעייה כי יש שימור תנע בציר הזה. ולכן אפשר לחשב אותו בכל זמן שהוא, ובפרט בנקודת העזיבה, שבה כבר מצאנו שהוא יוצא http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Csqrt%7BgR%7D
 
ו. מוצאים את הוקטור מחישוב ההפרש הוקטורי בין וקטור התנע של http://www.codecogs.com/gif.latex?m_1 בעזיבה לוקטור התנע ההתחלתי שלה. אנחנו יודעים את שתי המהירויות אז קל לראות ש:
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BJ_1%7D=%5CDelta%20%5Cvec%7Bp_1%7D=m%5Csqrt%7BgR%7D%7D%5C,%5Chat%7By%7D-%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7Dm%5Csqrt%7BgR%7D%5C,%5Chat%7Bx%7D

והנה דוגמא לדרישה השנייה (נגזרות מעורבות שונות) באדיבות גוגל ווולפרם:
 
http://mathworld.wolfram.com/images/equations/PartialDerivative/NumberedEquation4.gif
 
הנגזרות המעורבות פה אמורות לצאת 1- ו-1.

http://www.codecogs.com/gif.latex?W=-%5CDelta%20U=U(0,1,1)-U(1,0,1)=0.5-1=-0.5%5C,J

אני מבין שאורך המוט http://www.codecogs.com/gif.latex?L=2R, וש-http://www.codecogs.com/gif.latex?m_1=m_2=M/2?
 
לגבי מה שהם עושים, הם משתמשים במשפט שטיינר ביחס לציר סיבוב שעובר במרכז המסה החדש (של מערכת שלושת הגופים, שנמצא במרחק R/2 ממרכז הדיסקה/אמצע המוט).
 
מומנט האינרציה של גוף ביחס לציר במרחק L ממרכז המסה שלו הוא:
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?I=I_0+ML%5E2
 
כאשר http://www.codecogs.com/gif.latex?I_0 הוא מומנט האינרציה ביחס למרכז המסה של הגוף הבודד המדובר. מה שהם עושים הוא להפעיל את משפט שטיינר בנפרד על הדיסקה ועל מערכת שני הגופים כדי לקבל את מומנט האינרציה של שניהם ביחס לציר הסיבוב החדש.
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?I_%7BDisk%7D=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7DMR%5E2+M(R/2)%5E2=%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7DMR%5E2
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?I_%7Bm1+m2%7D=2(%5Cfrac%7BM%7D%7B2%7DR%5E2+%5Cfrac%7BM%7D%7B2%7D(R/2)%5E2)=%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7DMR%5E2

הנקודה הזו יוצאת נקודה מיוחדת בגלל הגדרת הקואורדינטות הפולריות ובגלל שאנחנו מסביב ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cphi=%5Cpi (אם כי http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cphi=0 במקרה המתאים מתנהגת אותו הדבר).
תחום קטן מסביב לנקודה מתאים לטווח http://www.codecogs.com/gif.latex?%20%5Cpi-%5Cepsilon%20%5Cleq%20%5Cphi%20%5Cleq%20%5Cpi+%5Cepsilon.

אם תסתכל על כיוון הנורמל בתחום הזה, תראה שבחצי ממנו הנורמל יוצא מן המשטח ובחצי ממנו הוא נכנס למשטח, ולכן בקו הגבול בין שני התחומים הוא חייב להתאפס.
אין פה משהו עמוק יותר כגורם מהמחזוריות (ותכונות הסימטריה) של פונקציות טריגונומטריות, לדעתי.

(כמובן שאם מגדירים את התחום שלנו כ-http://www.codecogs.com/gif.latex?0%20%5Cleq%20%5Ctheta%20%5Cleq%202%5Cpi ו- http://www.codecogs.com/gif.latex?%20%5Cpi-%5Cepsilon%20%5Cleq%20%5Cphi%20%5Cleq%20%5Cpi הנורמל לא יחליף סימן ויישאר יוצא תמיד, אבל זה לא משנה את הנקודה העקרונית שב-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cphi=%5Cpi הנורמל הופך מיוצא לנכנס ולכן חייב להתאפס שם. כי הוקטור הזה מורכב מפונקציות טריגונומטריות שהן רציפות וחלקות).

אתה יכול גם לראות שהוקטור http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BR_%7B%5Ctheta%7D%7D מתאפס בנקודה (או אם תרצה, "מחליף כיוון") הזו ולוקח איתו את המכפלה הוקטורית.

זה לא ניחוש מושכל. זה חיבור/חיסור וקטורים לפי טרנספומציית גליליי.
כמו שכתבתי למעלה, לפי טרנספורמציית גליליי המהירות של קרון 2 במערכת של קרון 1 היא:
 
הוקטור הזה כבר מכיל תרומה בכיוון http://www.codecogs.com/gif.latex?-x' (האיבר השני, כולל המינוס שלפניו, הוא בכיוון הדרוש).
כדי שהוקטור הזה יישאר בכיוון http://www.codecogs.com/gif.latex?-x' גם האיבר הראשון צריך להיות באותו כיוון (בתיאוריה הוא היה יכול להיות גם בכיוון http://www.codecogs.com/gif.latex?+x' אם http://www.codecogs.com/gif.latex?v_2, אבל אני אנחש שאלו לא הנתונים כי רצו תשובה יחידה).
יש פה שימוש בתכונה בסיסית של חיבור וקטורים. לא מדובר בניחוש.

המשפט מנוסח כך שהפונקציה המחולצת גזירה ברציפות.
אם היית מנסח אותו אחרת, אולי היית יכול לוותר על הדרישה לגזירות ברציפות של הפונקציה הסתומה. אולי קיימת אפילו גרסא כזו של המשפט אי שם שלא מלמדים.
 
אבל אם אתה שואל למה משפט הפונקציות הסתומות מנוסח כפי שהוא מנוסח אז אין לי תשובה כי לא נסחתי אותו.

...אני יכול רק לנחש שהוא מנוסח כך מכיוון שפונקציות מחולצות גזירות-אבל-לא-גזירות ברציפות מהסוג של פונקציית רימן לא מי יודע מה שימושיות.

למה אתה צריך את שתי הפונקציות?
:scratch:
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?I=%5Carctan(%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D)%7C_%7B(0,1)%7D-%5Carctan(%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D)%7C_%7B(1,0)%7D=%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D-0=%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D
 
לא יכול להיות מצב שבו תצטרך את שתי הפונקציות בתחום פשוט קשר אחד שבו השדה משמר. הן mutual exclusive.
 
עריכה: משהו לא מסתדר לי. יש מצב שלארקטנגנס עם y למטה היה מינוס ליד?

למזלך שמרתי את תדריך המעבדה 3מ' שלי מ-2003, כי בתדריך של 2ח' שיש אליו גישה באינטרנט חסר בדיוק החלק של תא פוטו אלקטרי (ולא, אני לא מאמין שהתדריך השתנה מ-2003 אפילו במילה אחת).
 
1. אם תסתכל בפיתוח של הנוסחא תראה ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?e%5Cvarphi(A) נכנס למשחק מההצהרה שהאנרגיה של אלקטרון שהשתחרר מהקתודה והגיע לאנודה במהירות אפס היא http://www.codecogs.com/gif.latex?E_F(A)+e%5Cvarphi(A).
    משמעות ההצהרה הזו היא שאין הבדל בביטוי לאנרגיה בין אלקטרון שהשתחרר מהקתודה והגיע לאנודה ללא אנרגיה קינטית לאלקטרון שהשתחרר מהאנודה ללא אנרגיה קינטית - שניהם חופשיים, שניהם ללא אנרגיה קינטית ולשניהם אותה אנרגיה פוטנציאלית.
    האנרגיה הפוטנציאלית שלהם נובעת בחלקה מהפוטנציאל שדרוש לשחרור האלקטרון (פונקציית העבודה של האנודה) ווחלקה מרמת האנרגיה של האלקטרון באנודה (כי לא ייתכן שפוטנציאל חד ממדי יהיה שונה עבור שני חלקיקים שמגיעים לאותה נקודה).
    משימור אנרגיה נובע שהאנרגיה שלהם שווה לאנרגיה שהיתה לאלקטרון הראשון כשהשתחרר מהקתודה, שהיא מכילה את פונקציית העבודה של הקתודה.
 
2. לזכרוני כן, למרות שאני לא חושב שרואים את זה לפני מצב מוצק ואני לא רואה איך זה רלוונטי למעבדה הזו. אתה לא מחשב את התלות הזו, אתה מוצא אותה בטמפרטורה ספציפית.

יש לך ייצוג מטרציוני ויש לך בראקטיאדה. הם מחליפים זה את זה, ואתה יכול בתיאוריה לפתור את השאלה עם שניהם.
המכפלה בין האופרטור לוקטור העצמי בייצוג של הברקטיאדה תהיה במקרה הזה הרבה יותר מסורבלת. קל ונוח יותר לעבוד עם הייצוג המטריציוני שבו אתה לא כופל סכום של קט-בראים (האופרטור) בסכום של קטים (הוקטור העצמי) אלא פשוט מטריצה בוקטור. 
 
- הסימון בשאלה הזו מבלבל, כי Hij שמופיע בברקטיאדה הוא אלמנט מטריצה 1X1 (אין לך מטריצה 3X3 פרופר בסכום בברקטיאדה) ו-Hij שמופיע בצד ימין היא המטריצה 3X3 מהייצוג המטריציוני. הם שני דברים שונים מתמטית, אפילו שאלמנטי המטריצה לקוחים מהמטריצה. המטריצה היא מטריצה והאלמנט בברקטיאדה הוא מקדם מספרי (תלוי אינדקסים) שאינו מטריצה.
- אין לך סיבה לחשוד בקיומו של סכום מטריצות בשאלה הזו. מהרגע שאתה רואה ברא וקטים אתה יודע שלא יהיה לך סכום מטריצות, אלא לכל היותר סכום על אלמנטי מטריצה. מכיוון שהברקטיאדה היא ייצוג אלטרנטיבי לייצוג המטריציוני. סכום מטריצות יופיע בייצוג המטריציוני.

במקרה של השאלה המקורית שלך (s הוא אורך קשת) לא מאבדים את הגזירות גם בקצוות הקטע. במקרה של הדוגמא הראשונה שנתת (s=cos t), בקצוות הקטע אתה מגיע בדיוק לנקודה שבה הפונקציה מפסיקה להיות מונוטונית ולכן כבר לא הפיכה.
 
אגב, שים לב למה שהוספתי בעריכה בהודעה הקודמת.

קצב איבוד המסה הוא האינטגרל שאתה מחשב והוא דבר שונה מקצב השינוי בצפיפות. פונקצייה אחרת, כאמור.
אם נדבר שוב על קצב השינוי בצפיפות והנגזרת שלך, שים לב שתכונה של האקספוננט הדועך שאני מדבר עליו הוא שאם הוא דועך מהר יותר הוא מגיע אחרי זמן קצר יותר לאיזור שבו השינויים זניחים.
...ולכן אם אתה מסתכל על הכדור אחרי זמן מסויים t סביר שהצפיפות משתנה לאט יותר בשוליים מאשר במרכז.
כלומר, לכאורה באותו זמן היא תדעך "מהר יותר" במרכז. אבל זה רק כי הצפיפות בשוליים הגיעה לחלק הלא משמעותי של האקספוננט קודם.
 
בכל מקרה, ב"קצב ההתנדפות גדול יותר" הכוונה להבנתי ל"מאבד מהר יותר את רוב הצפיפות ההתחלתית" ולא "מאבד יותר צפיפות בכל זמן נתון". הרי ברור שאם כל הכדור התחיל מאותה צפיפות והיא גודל סופי השוליים שלו לא יכולים לאבד צפיפות מהר יותר לנצח, כי באיזהשהוא שלב הצפיפות שלהם פשוט תגמר ושל המרכז לא.
ולכן אי אפשר להראות את מה שאתה מציין בדרך שאתה רוצה. כי הוא לא חייב להתקיים כדי שהשוליים יאבדו צפיפות מהר יותר.

מהגדרת תחום האינטגרציה שלך נובע שהוא סימטרי ב-x. אפילו אם הוא לא בהכרח רציף מ-x- ל-x, ניתן לכל הפחות לחלק אותו לשני קטעים (או יותר, מספר זוגי כלשהיא) מהצורה:
http://www.codecogs.com/gif.latex?x_1%20%5Cleq%20x%20%5Cleq%20x_2
http://www.codecogs.com/gif.latex?-x_2%20%5Cleq%20x%20%5Cleq%20-x_1
 
עבור http://www.codecogs.com/gif.latex?x_1%20%5Cleq%20x_2 חיוביים כלשהם.
 
נניח בלי הגבלת כלליות שיש לך שני תחומים סימטריים כאלו. אם יש יותר זוגות אפשר להוכיח את הסימטריה של האינטרגל באותו אופן עבור כ"א מהזוגות בנפרד. מהנתונים על הפונקציה אפשר להסיק:
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?I=%5Cintop_%7B-x_2%7D%5E%7B-x_1%7D%5Cintop_%7By_1%7D%5E%7By_2%7D%20f(x,y)%5C,%20dxdy+%5Cintop_%7Bx_1%7D%5E%7Bx_2%7D%5Cintop_%7By_1%7D%5E%7By_2%7D%20f(x,y)%5C,%20dx%20dy
עכשיו נחליף משתנים באינטגרל הראשון ונקבל מהחלפת משתנים:
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?I=%5Cintop_%7Bx_1%7D%5E%7Bx_2%7D%5Cintop_%7By_1%7D%5E%7By_2%7D%20f(-u,v)%5C,%20dudv+%5Cintop_%7Bx_1%7D%5E%7Bx_2%7D%5Cintop_%7By_1%7D%5E%7By_2%7D%20f(x,y)%5C,%20dx%20dy
 
כתבתי http://www.codecogs.com/gif.latex?f(-u,v) במקום http://www.codecogs.com/gif.latex?f(u,v) כדי של-f תהיה אותו צורה פונקציונלית (=אותה פונקציה) כמו באינטגרל הימני (אני יכול להתפלסף על המשמעות של זה אם צריך, זו פשוט נוטציה שונה מהנפוצה).
סדר הגבולות התחלף כדי להתאים לכיסוי שטח חיובי. ניתן לעשות רלייבלינג של משתני האינטגרציה u כ-x ו-v כ-y (מותר, משתני אינטגרציה, השם לא חשוב) ולקבל:
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?I=%5Cintop_%7Bx_1%7D%5E%7Bx_2%7D%5Cintop_%7By_1%7D%5E%7By_2%7D%20f(x,y)+f(-x,y)%5C,%20dx%20dy=%5Cintop_%7Bx_1%7D%5E%7Bx_2%7D%5Cintop_%7By_1%7D%5E%7By_2%7D%20f(x,y)-f(x,y)%5C,%20dx%20dy=0

שתי הזהויות שלך מוכחות באותו אופן, מכתיבת הקומבינציות ומכנה משותף:
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D+%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk+1%7D=%5Cfrac%7Bn!%7D%7Bk!(n-k)!%7D+%5Cfrac%7Bn!%7D%7B(k+1)!(n-k-1)!%7D=%5Cfrac%7Bn!(k+1+n-k)%7D%7B(k+1)!(n-k)!%7D=%5Cfrac%7Bn!(n+1)%7D%7B(k+1)!(n+1-k-1)!%7D=%5Cfrac%7B(n+1)!%7D%7B(k+1)!(n+1-k-1)!%7D=%5Cbinom%7Bn+1%7D%7Bk+1%7D
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk-1%7D+%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D=%5Cfrac%7Bn!%7D%7B(k-1)!(n-k+1)!%7D+%5Cfrac%7Bn!%7D%7Bk!(n-k)!%7D=%5Cfrac%7Bn!(k+n-k+1)%7D%7Bk!(n-k+1)!%7D=%5Cfrac%7Bn!(n+1)%7D%7Bk!(n+1-k)!%7D=%5Cfrac%7B(n+1)!%7D%7Bk!(n+1-k)!%7D=%5Cbinom%7Bn+1%7D%7Bk%7D
 
לגבי ההוכחה באינדוקציה, עבור n=1
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CSigma%20P_1=1+1=2%5E1
 
כעת נניח ש
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CSigma%20P_n=2%5En
ומהגדרת משולש פסקל ידוע
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CSigma%20P_%7Bn+1%7D=%5Cbinom%7Bn+1%7D%7B0%7D+%5Cbinom%7Bn+1%7D%7B1%7D+...+%5Cbinom%7Bn+1%7D%7Bn+1%7D
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CSigma%20P_%7Bn%7D=%5Cbinom%7Bn%7D%7B0%7D+%5Cbinom%7Bn%7D%7B1%7D+...+%5Cbinom%7Bn%7D%7Bn%7D
נחסר בין השורות איבר איבר. האיבר הראשון מצטמצם כי הוא 1 בשניהם. האיבר האחרון בשורה n+1 לא מצטמצם כי אין לו בן זוג. מתקבל:
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CSigma%20P_%7Bn+1%7D-%5CSigma%20P_n=%5Cbinom%7Bn+1%7D%7B1%7D-%5Cbinom%7Bn%7D%7B1%7D+%5Cbinom%7Bn+1%7D%7B2%7D-%5Cbinom%7Bn%7D%7B2%7D+...+%5Cbinom%7Bn+1%7D%7Bn%7D-%5Cbinom%7Bn%7D%7Bn%7D+%5Cbinom%7Bn+1%7D%7Bn+1%7D
 
נשתמש באחת הזהויות שהוכחנו כרגע, רק נעביר בה אגפים:
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cbinom%7Bn+1%7D%7Bk%7D-%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D=%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk-1%7D
ונקבל:
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CSigma%20P_%7Bn+1%7D-%5CSigma%20P_n=%5Cbinom%7Bn%7D%7B0%7D+%5Cbinom%7Bn%7D%7B1%7D+...+%5Cbinom%7Bn%7D%7Bn-1%7D+%5Cbinom%7Bn+1%7D%7Bn+1%7D
 
עכשיו נרשום את האחד שיש לנו בסוף השורה כ-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cbinom%7Bn%7D%7Bn%7D במקום http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cbinom%7Bn+1%7D%7Bn+1%7D ונקבל:
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CSigma%20P_%7Bn+1%7D-%5CSigma%20P_n=%5Cbinom%7Bn%7D%7B0%7D+%5Cbinom%7Bn%7D%7B1%7D+...+%5Cbinom%7Bn%7D%7Bn-1%7D+%5Cbinom%7Bn%7D%7Bn%7D=%5CSigma%20P_n
כלומר
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CSigma%20P_%7Bn+1%7D=2%5CSigma%20P_n
 
ומכיוון שהנחנו:
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CSigma%20P_n=2%5En
נובע משני השוויונות ישר
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CSigma%20P_%7Bn+1%7D=2%5Ctimes2%5En=2%5E%7Bn+1%7D
 
מש"ל באינדוקציה.

אני מניח שהכוונה להשתמש בכלל לייבניץ בנקודה שבה הוא לא בעייתי כדי לחשב את http://www.codecogs.com/gif.latex?F'(x) ואז לשכוח ממנו ולראות אם לפונקציה שקבלת http://www.codecogs.com/gif.latex?F'(x) יש גבול ב-x=0.
אין צורך להתעסק בהגדרת מלבנים ב-x=0 כי ממילא כלל לייבניץ לא יכול להיות תקף במלבן שמכיל את (0,0). היא נקודת אי רציפות עיקרית.
..אתה לא באמת מחשב פה את הנגזרת בנקודה x=0 עם כלל לייבניץ, רק את הגבול לנגזרת שחשבת עם כלל לייבניץ במקום שבו הוא תקף בנקודה x=0.

בדרך כלל יש פרמטרים שונים לרוחב עקומה כתלות בפונקציה.
בעקומת גאוס מקובל להתייחס ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Csigma (או כפולות שלמות שלו) כרוחב העקומה (כזכור http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x)=%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%5Csigma%7De%5E%7B-%5Cfrac%7B(x-%5Cmu)%5E2%7D%7B2%5Csigma%5E2%7D%7D). המשמעות שלו בפועל היא ש-68% מהאינטגרל על הפונקציה נמצאים בטווח http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cpm%5Csigma מהממוצע של ההתפלגות http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cmu (יש גם ערכים ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?2%5Csigma ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?3%5Csigma, שהם 95% ו-99% בערך בהתאמה).
בפונקציות אחרות יש פרמטרים אחרים.
פרמטר גנרי יותר לפונקציות דמויות גאוסיאן הוא ה-Full Width Half Maximum (בקיצור FWHM), שמתאים למרחק בין שתי נקודות שבהן הפונקציה מגיעה למחצית מגובה המקסימום שלה.

לא.
 
הנה התשובה המלאה:
 
יהי http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x,y) אינטגרנד עם נקודות אי רציפות סליקות (אבל נגזרת רציפה לפי y)  ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?g(x,y) אינטגרנד מתוקן שבו החלפנו את הערך בנקודות אי הרציפות הסליקות בגבול של הפונקציה f בהן.
אזי, אם
http://www.codecogs.com/gif.latex?F(y)=%5Cint_%7Bu(y)%7D%5E%7Bv(y)%7Df(x,y)%5C,dx
http://www.codecogs.com/gif.latex?G(y)=%5Cint_%7Bu(y)%7D%5E%7Bv(y)%7Dg(x,y)%5C,dx
נובע
http://www.codecogs.com/gif.latex?F(y)=G(y)
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?F'(y)=G'(y)
מכיוון שאת אגף ימין מותר ללא שום ספק לחשב באמצעות כלל לייבניץ, והחישוב שלו באמצעות כלל לייבניץ נותן את אותה תוצאה בדיוק שנותן החישוב של אגף שמאל עם אגף לייבניץ (עד כדי, שאם באגף שמאל אחד מהגבולות נמצא בנקודת אי רציפות סליקה צריך להחליף את הערך של הפונקציה בנקודה בערך הגבולי ואז מתקבלת אותה תוצאה), נובע שנקודת אי רציפות סליקה לא משנה לכלל לייבניץ תחת המניפולציה הזו.

מהניסוח נרמז, גם אם לא נאמר חד משמעית, שקיים כיוון שבו הנגזרת המכוונת של f שונה מאפס, אחרת אין הרבה טעם בשאלה.
...טכנית, עדיין אפשר לומר שהנגזרת המכוונת בכיוון z מקסימלית גם אם הגראדיינט מתאפס. רק שבמקרה הזה מינימום=מקסימום=נגזרת מכוונת בכל כיוון.
הניסוח לא מחייב שמקסימום מתקבל רק בכיוון אחד. יש כיוון שבו הנגזרת המכוונת בטוח מקסימלית; זה לא אומר שאין כיוונים נוספים שבהם היא שווה למקסימום.
 
...אם יש בעייה בניסוח היא כבר שעל פניו הנגזרת המכוונת בכיוון z יכולה להיות גם מינימלית, לא מקסימלית, אם http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20z%7D בנקודה.
הם התכוונו לכתוב שהגודל בערך מוחלט של הנגזרת המכוונת מקסימלי.

הכח בין שתי המסות הוא כח דחייה לאורך כל התנועה.
המסה הראשונה מאטה כל עוד היא מתקרבת למסה השנייה, וממשיכה להאט גם כשהמסה השנייה מתרחקת ממנה.
אבל כשהמסות מתרחקות הכח נחלש והמסה הראשונה מאטה פחות.
 
המהירות הסופית של המסה הראשונה תלוייה בתשובה לשאלה עד כמה הספיקה הדחייה של הפוטנציאל להרוס את המהירות המקורית שלה לפני שהפוטנציאל הפך לזניח.
ככל שהמסה הראשונה גדולה יותר ביחס לשנייה קשה יותר לפוטנציאל להאט אותה.
ככל שהמהירות ההתחלתית של המסה הראשונה גדולה יותר הפוטנציאל יצטרך להיות משמעותי יותר זמן כדי לחסל אותה ולהפוך את כיוונה.

במעבדה 1 בפרק שעסק בחישוב שגיאה נגררת ראיתם (ללא הוכחה, לזכרוני*) ששגיאות של גדלים תלויים מקיימות ביניהם את אותו קשר בדיוק שמקיימים הדיפרנציאלים של אותם גדלים.
ולכן, עבור פונקצייה של משתנה בודד:
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?dp=%5Cfrac%7Bdp%7D%7BdE_k%7DdE_k%20%5Crightarrow%20%5CDelta%20p%20=%20%7C%5Cfrac%7Bdp%7D%7BdE_k%7D%7C%20%5CDelta%20E_k
 
הקשר שהצעת לא נכון כי הוא טוען שהשגיאות בגדלים מקיימות את אותו קשר כמו הגדלים עצמם ולא כמו הדיפרנציאלים שלהם.
 
* ההוכחה נובעת מפיתוח טיילור. בהנחה שהשגיאה קטנה מספיק ביחס לגודל המקורי, אם http://www.codecogs.com/gif.latex?p=f(E_k), אז:
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CDelta%20p%20=%20%7C%5Cfrac%7Bf(E_k+%5CDelta%20E_k)-f(E_k-%5CDelta%20E_k)%7D%7B2%7D%7C=%7C%5Cfrac%7Bf(E_k)+%5Cfrac%7Bdf(E_k)%7D%7BdE_k%7D%5CDelta%20E_k-f(E_k)+%5Cfrac%7Bdf(E_k)%7D%7BdE_k%7D%5CDelta%20E_k%7D%7B2%7D%7C=%7C%5Cfrac%7Bdp%7D%7BdE_k%7D%7C%5CDelta%20E_k

כיוון הוקטור  http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bdl%7D  אמור להקבע לפי כיוון המסלול באינטגרל המסלולי, ללא קשר לכיוון השדה, כלומר בתיאוריה יכול להיות שיהיו ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bdl%7D כיוונים שונים בחישובים שונים כתלות בנקודת הייחוס של הפוטנציאל.
מכיוון שנקודת הייחוס פה זהה (אינסוף) וגם המסלול זהה (עד כדי בחירת קואורדינטות), לא אמור להיות הבדל בסימן של http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bdl%7D.
 
נראה לי שיש טעות בסימן בשאלה השנייה, מכיוון שניתן לראות שבאיזור 3 הפוטנציאל לא מקיים
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BE_%7BIII%7D%7D=-%5Cnabla%20%5Cvarphi_%7BIII%7D
 
לגבי המקור לטעות, יש רגישות בשאלה איפה הסימנים נמצאים בתוך  http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bdl%7D והאם צריך להוסיף מינוס כדי "לתקן" את הכיוון שלו.
ברור בשני המקרים שהכיוון שלו אמור להיות כיוון r היורד/כיוון x השלילי, אבל אם נסתכל על הוקטור  http://www.codecogs.com/gif.latex?dr%20%5Chat%7Br%7D  או  http://www.codecogs.com/gif.latex?dx%20%5Chat%7Bx%7D  במסלול הספציפי המדובר נראה שהוא כבר בכיוון השלילי, מכיוון ש-dr ו-dx קטנים מאפס בגלל כיוון האינטגרציה. http://www.codecogs.com/gif.latex?dr ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?dx אמורים להגדיר את הפרש הקואורדינטות בין שתי נקודות סמוכות עוקבות במסלול.
 
לכן נראה לי שהמינוס שהוסיפו (מכוונות טובות) לפני http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bdl%7D בשאלה השנייה הוא טעות.

מהעובדה שהפונקצייה גזירה בנקודה נובע בפרט שיש לה נגזרת מכוונת בכיוון העקום. מקיום נגזרת מכוונת בכיוון העקום נובע שהעקום גזיר באותה נקודה. אם העקום גזיר הוא חייב להיות חלק.

איך קשור המישור המשיק להתאפסות של http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CDelta%20y?
:scratch:
המישור המשיק קשור לגרדיינט בנקודה (שניצב למישור המשיק), וקל לראות שרכיב y של הגרדיינט לא מתאפס, כי הוא פשוט B (ו-B שונה מאפס לפי ההגדרה הזו).
לא ייתכן שהמישור המשיק מקביל לציר z כי רכיבי x, y ו-z של הגרדיינט שונים מאפס.

זה די ישיר. לפי הגדרה
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cnabla%20g%20=%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20g%7D%7B%5Cpartial%20u%7D%20%5Chat%7Bi%7D%20+%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20g%7D%7B%5Cpartial%20v%7D%20%5Chat%7Bj%7D
 
כשאתה מחשב את הנגזרות החלקיות של g אתה משתמש בכלל השרשרת ומקבל מייד שהן שוות למכפלה סקלרית המבוקשת בכל איבר. כך למשל:
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Cpartial%20g%7D%7B%5Cpartial%20u%7D=%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20x%7D%7B%5Cpartial%20u%7D+%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20y%7D%7B%5Cpartial%20u%7D+%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20z%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20z%7D%7B%5Cpartial%20u%7D=%5Cnabla%20f%20%5Ccdot%20%5Cvec%7Br%7D%20'_u

אם תשרטט את תחומי האינטגרציה המקוריים שלך תראה שהם מגדירים שני קטעים (רשומים פה לפי הסדר בציר x של הגבולות):
1. תחום שמתאים לרבע השמאלי העליון של המעגל   http://www.codecogs.com/gif.latex?(x-4)%5E2+y%5E2=16 
2. תחום שמתאים לקטע שלכוד בין פונקציית השורש   http://www.codecogs.com/gif.latex?y=%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B16%7D%7B3%7D(7-x)%7D   לציר x.
הגבול התחתון של x מתאים למעגל ולכן יוצא   http://www.codecogs.com/gif.latex?x=4-%5Csqrt%7B16-y%5E2%7D