לכל אפסילון החל ממקום מסוים בסדרה המקורית יש רק איברים בסביבת אפסילון של הגבול, ויש רק מספר סופי של איברים מחוץ לסביבת אפסילון. לכל אחד מהקבוצה הסופית הנל או שיש אינדקס חדש בסדרה החדשה או שאין כי הוא לא מופיע בה. אם נתחיל אחרי האינדקס המקסימלי מבין האינדקסים החדשים הרי שלאחריו אין איברים מחוץ לסביבת אפסילון. לכן הסדרה מתכנסת לאותו גבול.