[הסתברות] התפלגות נורמלית

[yoni]

יש לי שאלה על (חלק מ-) פתרון של תרגיל:

 

http://i.imgur.com/psULUJi.jpg

בסעיף א', למה http://www.codecogs.com/gif.latex?kV%5Csim%20N(0,k%5E%7B2%7D) או http://www.codecogs.com/gif.latex?U-kV%5Csim%20N(0,1+k%5E%7B2%7D)?

[radagast]

זה לפי משפט, http://www.codecogs.com/gif.latex?var(cX)=c%5E2var(X) ובנוסף עבור מ"מ בלתי תלויים סטטיסטית http://www.codecogs.com/gif.latex?var(X+Y)=var(X)+var(Y)

ההוכחה מיידית לפי הגדרת התוחלת.

[yoni]

יש לי עוד שאלה: בפתרון של סעיף א', למה הם טרחו לחשב את השונות אם בכל מקרה טוענים שלכל מ"מ נורמלי בעל תוחלת 0 התוצאה היא זהה? למה אי אפשר היה לטעון ישר ש-(U-kV~N(0,S ולחשב את ההסתברות גם אם S לא ידוע?

[radagast]

זה באמת לא משנה. מה שחשוב זה שזה נורמלי (פילוג סימטרי סביב התוחלת).

[yoni]

אז למה בסעיף ב' הם טענים שצריך להראות ש-X,Y בלתי מתואמים?

[radagast]

זה כבר לא קשור. יש לך שני מ"א נורמליים X,Y עם תוחלת 0. כדי להגיע למה שהיה בסעיף א' צריך שהם יהיו נורמליים במשותף (אני לא יודע אם זה מונח שנלמד בהסתברות) ואחד התנאים המספיקים הוא שהם יהיו בלתי תלויים סטטיסטית. במקרה זה תוכל להגיד שהסכום שלהם יהיה גם גאוסי. למה זה חשוב? זה לא חשוב לעניין התוחלת, כי התוחלת היא לינארית ולכן היא בכל מקרה תהיה 0 (גם אם אינם גאוסיים), אבל כדי לטעון שהתוצאה היא חצי, תנאי מספיק הוא שהפילוג יהיה גאוסי ולכן צריך לוודא שהסכום אכן גאוסי, וזה מתקבל אם המשתנים בלתי תלויים.

 

יש אי דיוקים בקורסי מבוא להסתברות שמתוקנים בקורסי המשך, אז אני מקווה שאני לא מטעה פה יותר מדי.

[yoni]

לא למדנו על מ"מ נורמליים במשותף או על סכום גאוסי אבל כנראה שלזה הם התכוונו. תודה על העזרה!