שאלה לגבי פונקציית נגזרת אי זוגית

[riovelo]

אני צריך להוכיח שאם f' אי זוגית, אז f זוגית. אז אמנם אני מתחיל כאשר אני כותב את הגדרת הנגזרת, על פי נתון האי זוגיות שלה, אך משם אני לא יודע להתקדם. אשמח לעזרה.

[DetectiveTom]

פונקציה זוגית היא כזו שעבורה http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x)=f(-x) ופונקציה אי-זוגית היא כזו שעבורה http://www.codecogs.com/gif.latex?g(x)=-g(-x)

אם נגיד ש-g היא הנגזרת של f, אז בעצם נתון לך הביטוי השני ואתה צריך להוכיח את הראשון.

אחרי שכתבת את הגדרת הנגזרת בשני האגפים, נסה להגיע לצורת הביטוי הדרוש (תוך שימוש בנתון על זוגיות f. זכור שהפונקציה רציפה בתחום האפס)

[אודי]

למה הגדרת הנגזרת? נראה לי פשוט מאינטגרציה החלפת משתנים:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x)=f(0)+%5Cintop_%7B0%7D%5E%7Bx%7Df'(x')dx'=f(0)-%5Cintop_%7B0%7D%5E%7Bx%7Df'(-x')dx'=f(0)-%5Cintop_%7B0%7D%5E%7B-x%7Df'(y')(-dy')=f(0)+%5Cintop_%7B0%7D%5E%7B-x%7Df'(y')dy'=f(-x)
 

כאשר בין השלב השני לשלישי השתמשתי באי זוגיות הנגזרת, ובין השלב השלישי לרביעי החלפתי משתנה אינטגרציה (http://www.codecogs.com/gif.latex?y'=-x') ולכן גם שיניתי את סימן הגבול העליון (אפס נשאר אפס).

אם עושים את זה עם אינטגרל מסויים זה פורמלי מספיק.

[riovelo]

אבל התרגיל הזה ניתן לנו לפני שהגענו בקורס לאינטגרלים. האם יש דרך אחרת?

[אודי]

אוקי, הפתרון הוא פתרון שאינקוג כבר נתן בפורום הזה לאותו תרגיל (ומצאתי באמצעות חיפוש! על המילה "זוגית"):

נגדיר פונקציה חדשה, http://www.codecogs.com/gif.latex?H(x):

http://www.codecogs.com/gif.latex?H(x)=f(x)-f(-x)

 

אם f זוגית אז H(x)=0. לכן צריך להוכיח ש-H(x)=0.

קל לראות שהנגזרת של H מתאפסת זהותית:

http://www.codecogs.com/gif.latex?H'(x)=f'(x)+f'(-x)=0

כי הנגזרת של f היא פונקציה אי זוגית. לכן כבר הוכחנו ש-H צריכה להיות פונקציה קבועה, H(x)=C.

 

נניח ש H(x)=C קבוע שונה מאפס. מייד נקבל שהפונקצייה f לא רציפה באפס, כי יש שם קפיצה ב-C.

מכאן שכדי שהפונקציה f תהיה רציפה C=0, או H(x)=0 ו-f זוגית.

[אודי]

אגב, חיפוש מעלה בחכתו דברים ממש מרתקים. למשל, הידעת שכבר שאלת את השאלה הזו לפני חצי שנה? ואינקוג לא זכר אז את הפתרון שהוא נתן קודם (או שהוא זכר ולא רצה לחזור על עצמו)

 

http://forums.techstud.net/index.php/topic/6089-%D7%A9%D7%9C%D7%95%D7%9D-%D7%90%D7%A9%D7%9E%D7%97-%D7%9C%D7%A2%D7%96%D7%A8%D7%94-%D7%91%D7%A9%D7%AA%D7%99-%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA-%D7%91%D7%97%D7%93%D7%95%D7%90-%D7%91%D7%A0%D7%92%D7%96%D7%A8%D7%95%D7%AA-%D7%AA%D7%95%D7%93%D7%94-%D7%9E/?hl=%D7%96%D7%95%D7%92%D7%99%D7%AA

 

(זו לא ירידה עליך ולא ירידה על אינקוג. גם אני לא זכרתי שכבר עניתי על השאלה הזו, כמו שאני לא זוכר שעניתי כבר על שאלות אחרות. אני פשוט עושה פה פרומושיין לחיפוש המתקדם)

[riovelo]

אני חוזר על הקורס ואכן השאלה נראתה מוכרת. עכשיחו קיבלתי הוכחה לכך. תודה רבה.

[אורח רעות]

אוקי, הפתרון הוא פתרון שאינקוג כבר נתן בפורום הזה לאותו תרגיל (ומצאתי באמצעות חיפוש! על המילה "זוגית"):

נגדיר פונקציה חדשה, http://www.codecogs.com/gif.latex?H(x):

http://www.codecogs.com/gif.latex?H(x)=f(x)-f(-x)

 

אם f זוגית אז H(x)=0. לכן צריך להוכיח ש-H(x)=0.

קל לראות שהנגזרת של H מתאפסת זהותית:

http://www.codecogs.com/gif.latex?H'(x)=f'(x)+f'(-x)=0

כי הנגזרת של f היא פונקציה אי זוגית. לכן כבר הוכחנו ש-H צריכה להיות פונקציה קבועה, H(x)=C.

 

נניח ש H(x)=C קבוע שונה מאפס. מייד נקבל שהפונקצייה f לא רציפה באפס, כי יש שם קפיצה ב-C.

מכאן שכדי שהפונקציה f תהיה רציפה C=0, או H(x)=0 ו-f זוגית.

 

היי, הייתה לי את אותה שאלה וראיתי את הפתרון הזה,

אפשר בבקשה הסבר בנוגע לשורה: נניח ש H(x)=C קבוע שונה מאפס. מייד נקבל שהפונקצייה f לא רציפה באפס, כי יש שם קפיצה ב-C

למה בעצם נקבל אי רציפות?

 

תודה :)

[אודי]

http://www.codecogs.com/gif.latex?H(x)=f(x)-f(-x)=C

 

אם תקח את הגבול החד צדדי x שואף לאפס מימין על הפונקציה H תקבל שההפרש בין הגבול החד צדדי הימני לגבול החד צדדי השמאלי של f באפס הוא C:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20+0%7D%5C,H(x)=f(+0)-f(-0)=C

 

כאשר http://www.codecogs.com/gif.latex?f(+0) ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?f(-0) הם הגבולות החד צדדיים, בהתאמה.