עזרה בנושא תנע ומרכז מסה

[riovelo]

אשמח לעזרה בשאלה הבאה.
נתונים שני חרוזים בעלי מסות m₁ ו-m₂ ומטענן חשמלי q כל אחד, המושחלים על מוט ישר וארוך (המונח על ציר ה-x). החרוזים יכולים לנוע לאורך המוט ללא חיכוך. הכוח החשמלי הפועל בין החרוזים הוא כוח דחייה, והוא נגזר מאנרגייה פוטנציאלית התלויה רק במרחק בין החרוזים (מזניחים את מימדי החרוזים)            http://phstudy.technion.ac.il/phmoodle/filter/tex/pix.php/e24354a6ebeb6fbfc9acad2a262e2107.png
ברגע t = 0 המתואר בשרטוט, הגוף m₂ נמצא במנוחה בראשית הצירים (x₂ = 0) וגוף 1 מתחיל לנוע מהנקודה x₁ = - l₀ במהירות v₀ כלפי גוף 2.

http://phstudy.technion.ac.il/phmoodle/file.php/1/HomeworkImages/Mechanics/TwoChargedBeads.gif           נתונים:     m₁ = 20 gr
m₂ = 90 gr
q = 900 esu
l₀ = 120 cm
v₀ = 160 cm /s

א. מהו מיקום מרכז המסה של שני הגופים (בסנטימטרים) ברגע t = 0?
ב. מהו מיקום מרכז המסה של שני הגופים (בסנטימטרים) ברגע t = 0.2 sec?
ג. מהו המרחק המינימלי אליו יגיעו הגופים אחד מהשני? (תנו תשובה בסנטימטרים)
ד.ברגע בו המרחק בין הגופים מינימלי, מה תהיה מהירות גוף 1 ביחס למעבדה (בסנטימטרים לשנייה)?

ה.לאחר זמן מסויים החלקיקים ידחו זה מזה ויתרחקו מספיק כדי שיהיה ניתו להזניח את הכוח ביניהם. מה תהיה אז מהירותו של גוף 1 ביחס למעבדה (בסנטימטרים לשנייה)?

אוקיי, אז את א' הצלחתי, אבלי את ההמשך לא. איך אני מביא פה ליד ביטוי את הפרמטר של הזמן? ובכלל, כדי להגיע לכוח, איך אני גוזר פה ערך מוחלט?
תודה מראש

 

[אודי]

אתה פותר את הבעייה הזו בעזרת חוקי שימור, אתה לא צריך כוחות.

 

ב. שים לב שמכיוון שיש שימור תנע (אין כוחות חיצוניים) מהירות מרכז המסה קבועה וניתנת לחישוב. אם אתה יודע מה המיקום ההתחלתי של מרכז המסה (סעיף א') ומה המהירות הקבועה שלו, אתה יכול למצוא את המיקום שלו בכל זמן שהוא. X=X_0+Vt

 

ג. שוב, לא צריך כח. שימור אנרגיה אמור לתת לך את התשובה. אתה יודע שבזמן שהמרחק בין הגופים מינימלי המהירות שלהם במערכת מרכז המסה מתאפסת, ולכן במערכת המעבדה שניהם נעים במהירות מרכז המסה. זה מאפשר לך לבנות את שימור האנרגיה הדרוש לתשובה (בין t=0 לזמן שבו המרחק מינימלי).

 

ד. ענית במהלך החישוב של ג'

:)

 

ה. שוב, שימור אנרגיה, תחת ההנחה שבזמן הרחוק המדובר האנרגיה הפוטנציאלית תעלם ותהיה רק אנרגיה קינטית.

[riovelo]

אוקיי, המון תודה אודי!
רק שאלה אחת נוספת, אם אפשר.
"מסה m₁ נעה לכיוון מסה m₂ במהירות v₁ = 9v. המסה m₂ נייחת. מעברה השני של m₂ נעה מסה m₃ במהירות v₃ = v (ציור א'). הקפיץ המחובר בקצה השמאלי של המסה m₃ הינו חסר מסה ובעל קבוע קפיץ k. המסה m₁ מתנגשת ב-m₂ ונצמדת אליה. הן נעות בצוותא לכיוון m₃.
     http://phstudy.technion.ac.il/phmoodle/file.php/1/HomeworkImages/Mechanics/ThreeMassesAndASpring.png

מהי ההתכווצות המקסימלית של הקפיץ? תנו תשובה ביחידות של http://phstudy.technion.ac.il/phmoodle/filter/tex/pix.php/2f78d7f6b0bc07bdb9a8d276534f5365.png.
(מהירות הגוף m₁ + m₂ לאחר ההתנגשות גדולה ממהירות הגוף m₃, כך שהמרחק בין הגופים הולך וקטן)"
השאלה שלי היא- האם נכון להגיד שכאשר נוצר הכיווץ המקסימלי בקפיץ, 3 המסות נעות באותה מהירות השווה ל-v?
אם כן התשובה לא יוצאת לי נכונה. אם לא, אשמח לדעת מהי הדרך. תודה



 

[אודי]

בכיווץ המקסימלי, כמו במרחק המינימלי בשאלה הקודמת, המהירות של כל המסות היא מהירות מרכז המסה, vcm (שאינה v).

...זה נובע מכך שבמערכת מרכז המסה המהירות שלהם באותו זמן היא אפס כי שם הם פשוט מתקרבות זו לזו, משנות כיוון ומתרחקות

[riovelo]

אודי, אמרת שהעובדה שהמהירות של כל המסות היא Vcm נובעת מכך שמערכת מרכז המסה המהירות שלהן היא 0. זה לא הפוך? כלומר זה שהמהירות של כל המסות היא Vcm גוררת את זה שמהירות של כל מסה ומסה היא 0 במערכת מרכז המסה?

[אודי]

מתמטית, אתה יכול לקבל את המהירות במערכת מרכז המסה מהמהירות במערכת המעבדה ולהפך. טרנספורמציית מהירויות עובדת לשני הכיוונים. אפס עובר ל-vcm ו-vcm עובר לאפס בכיוון השני

...אבל קל יותר להבין למה כשהמרחק בין הגופים מינימלי המהירות של שניהם היא אפס במערכת מרכז המסה מאשר להבין למה המהירות של שניהם היא vcm במערכת המעבדה.

 

במערכת מרכז המסה האפס מתקבל ישירות ובקלות (התנע הכולל של שני הגופים הוא אפס, המהירויות שלהם מחליפות כיוון (עוברות דרך אפס) ולכן הן חייבות להחליף כיוון באותו זמן, וברור שבזמן הזה המרחק הוא מינימלי כי הן מפסיקות להתקרב ומתחילות להתרחק)

 

...אם אתה רוצה להסביר את זה במערכת המעבדה אתה אומר שהמהירויות שלהם חייבות להיות שוות בזמן שהמרחק ביניהם מינימלי. אבל הרבה פחות אינטואיטיבי להסיק את זה.

[riovelo]

אוקיי, הבנתי. המון תודה.

[lev]

היי אודי, 

בהקשר לשאלה הראשונה..

תוכל אולי קצת יותר לפרט את סעיף ג. אני ממש אשמח.

תודה .

[אודי]

1. במערכת מרכז המסה מהירות מרכז המסה http://www.codecogs.com/gif.latex?v_%7Bcm%7D היא אפס והתנע הכולל הוא גם אפס (כי http://www.codecogs.com/gif.latex?P_%7BTOT%7D=M_%7BTOT%7Dv_%7Bcm%7D).

 

2. לכן, במערכת מרכז המסה לגופים יש מהירויות מנוגדות בתחילת הבעייה. אם אחד נע ימינה השני חייב לנוע שמאלה, אחרת התנע הכולל ומהירות מרכז המסה לא יתאפסו.

 

3. מסעיף 2 נובע שבמערכת מרכז המסה הגופים "מתנגשים חזיתית" - נעים זה לעבר זה ומחליפים כיוון בשלב מסויים כשהפוטנציאל ביניהם דוחה אותם זה מזה.

 

4. אבל אם הגופים מחליפים כיוון הם חייבים להעצר, ואם הם נעצרים הם חייבים להעצר יחד - אחרת מהירות מרכז המסה היא לא אפס במערכת מרכז המסה.

 

5. אם במערכת מרכז המסה הגופים נעים זה לעבר זה, נעצרים בו זמנית ומחליפים כיוון, ברור שהמרחק המינימלי בינהם מתקבל בזמן שהם נעצרים.

 

6. לכן אפשר לכתוב שימור אנרגיה במערכת מרכז המסה בין המצב ההתחלתי (שבו יש אנרגיה קינטית ופוטנציאלית) למצב שבו המרחק בין הגופים מינימלי (ובו יש אנרגיה פוטנציאלית בלבד).

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dm_1v_1%5E2%5E%7B(cm)%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dm_2v_2%5E2%5E%7B(cm)%7D+%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7Bl_0%7D=%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7Bl_%7Bmin%7D%7D

 

7. את המהירויות ההתחלתיות במערכת מרכז המסה ניתן למצוא מטרנספורמציית מהירויות:

http://www.codecogs.com/gif.latex?v_1%5E%7B(cm)%7D=v_1%5E%7B(lab)%7D-v_%7Bcm%7D%5E%7B(lab)%7D=v_0-v_%7Bcm%7D%5E%7B(lab)%7D

http://www.codecogs.com/gif.latex?v_2%5E%7B(cm)%7D=v_2%5E%7B(lab)%7D-v_%7Bcm%7D%5E%7B(lab)%7D=0-v_%7Bcm%7D%5E%7B(lab)%7D

 

8. מכאן כל הגדלים ידועים והמשוואה ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?l_%7Bmin%7D פתירה.