חדו"א 2ת- משפט הפונקציות הסתומות (גיליון פתוח)

[Dolores]

שאלה ממש פשוטה שאני לא מבינה למה אני מסתבכת

 

http://i.imgur.com/eS0sHRh.jpg

 

הבעיה שלי היא בחלק השני, למצוא את Zyx (לפי צורת הכתיבה גוזרים לפי y ואז לפי x, נכון?)

הבנתי שהתשובה אמורה לצאת 1/2- אבל אני לא מצליחה להגיע אליה בשום דרך :\

תודה מראש!

[אודי]

את צריכה לחשב את http://www.codecogs.com/gif.latex?Z,_x ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?Z,_y בנקודה קודם.

זאת אומרת, שפעם את גוזרת את המשוואה לפי x ומציבה את הנקודה (כדי למצוא את http://www.codecogs.com/gif.latex?Z,_x) ופעם את גוזרת את המשוואה לפי y ומציבה את הנקודה (כדי למצוא את http://www.codecogs.com/gif.latex?Z,_y).

אחרי שמצאת את שתי הנגזרות הראשונות את יכולה לגזור את אחת המשוואות שקבלת מהגזירה הראשונה לפי המשתנה האחר (לדעתי דווקא נוח יותר לגזור את הנגזרת הראשונה של המשוואה לפי y לפי x מאשר ההפך).

[Dolores]

אודי, זה בדיוק מה שעשיתי ולא הגעתי לתשובה. אולי הטעות בדרך..

לפי משפט הפונקציות הסתומות: 

Zx(1,0)=-Fx/Fz=-(-z)/(3z^2-x)= 1/2

Zy(1,0)=-Fy/Fz=-(-1)/(3z^2-x)= 1/2

למיטב הבנתי כדי לקבל את הנגזרת של Z לפי y אני צריכה להתייחס גם לנגזרת הפנימית, כלומר:

(Zy= -Fy/Fz = -(3z^2*Zy(1,0)-x*Zy(1,0)-1)/(3z^2-x

ככה אני אמורה לפתור? ואז את הביטוי שקיבלתי לגזור לפי x?

[אודי]

בגדול זו הדרך, אבל

א. את צריכה לשים לב שאת מציבה את הערך של הנקודה והנגזרות בנקודה רק אחרי שאת גוזרת פעם שנייה ולא לפני;

ב. לטעמי נוח יותר לגזור את המשוואה המקורית לפי y ואז לפי x מאשר את השבר שקבלת.

[Dolores]

טוב, נראה לי שהבנתי מה הטעות   לא כפלתי במכנה בנגזרת הפנימית Zy או Zx.

אני אשמח לדעת אם הדרך שלי נכונה או לא...

[Dolores]

אני יודעת שצריך להציב בסוף את הנקודה :)

אני צריכה לגזור את המשוואה z^3-xz-y=0 לפי y ואז לפי x?

[Dolores]

Fy=3z^2*Zy-x*Zy-1=3z^2/2-x/2-1

3z^2/2-x/2-1)'x=6z*Zx/2-1/2=3/2-1/2=1) 

???

[אודי]

אם את יודעת שצריך להציב רק בסוף את הנקודה למה את מציבה ביטויים לנגזרות לפני הגזירה השנייה?

:scratch:

את לא תקבלי את הנגזרת המעורבת ככה. את צריכה לגזור את הביטוי עם הנגזרות הראשונות ללא שום הצבה:

מגזירה של המשוואה פעם ראשונה לפי y:

http://www.codecogs.com/gif.latex?3z%5E2z,_y%20-xz,_y%20-1%20=0

ואז את גוזרת את המשוואה לפי x ומקבלת:

http://www.codecogs.com/gif.latex?6zz,_xz,_y+3z%5E2z,_%7Bxy%7D-z,_y-xz,_%7Bxy%7D=0

הציבי את הנגזרות הראשונות ואת הנקודה בשוויון האחרון ותקבלי את התוצאה שאת צריכה לנגזרת המעורבת.

[Dolores]

 טוב, זה די מביך....   :oops:

 

תודה רבה אודי!!

[אודי]

על לא דבר

:)