מד"ר

[Hela]

איך אני מוכיחה או מפריכה את הטענות???

תודה .

 

[אודי]

יכול להיות שאני מפספס משהו, כי אני לא מבין למה הם הדגישו ש-y1 חיובי, אבל לדעתי שלושת הטענות נכונות.

 

א.

1. תסתכלי על ההפרש בין y1 ל-y2. הוא גם פתרון של המשוואה ומקיים y(0)=y(3)=0 (וגם y'(0)=0, כי ההנחה היא ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?y_1'(0)=y_2'(0) אם שני הפתרונות הם של אותה משוואה).

2. גם y=0 הוא פתרון של המשוואה עם אותם תנאי התחלה כמו y1-y2 (היינו, y(0)=y'(0)=0), שמקיים (בפרט) y(3)=0. כלומר, בנקודה x=3 הורונסקיאן של y=y1-y2  ו-y=0 מתאפס.

3. מכיוון ששתי הפונקציות פתרונות של אותה משוואה ו-x=3 נמצאת בתוך התחום שבה מקדמי המשוואה רציפים נובע מהתאפסות הורונסקיאן שהפונקציות חייבות להיות תלויות ליניארית בכל התחום, כלומר ש-y1-y2 תלויה ליניארית ב-y=0.

4. אבל תלות ליניארית בפונקציית האפס גוררת ש-y1-y2 היא פונקציית האפס בעצמה ולכן נובע y1=y2 בכל התחום.

 

ב.

1. נניח בשלילה שקיימת נקודה x1 בקטע הפתוח שבה http://www.codecogs.com/gif.latex?y_2(x_1)%20%5Cgeq%20y_1(x_1).

2. מ-1 ורציפות הפתרונות (והפתרונות חייבים להיות רציפים אם המקדמים רציפים בקטע) נובע שקיימת נקודה בתחום x2 בין x1 ל-3 (יכולה להיות גם x1 בעצמה) שבה http://www.codecogs.com/gif.latex?y_2(x_2)%20=%20y_1(x_2). בנקודה הזו הורונסקיאן של ההפרש בין הפתרונות, y1-y2, והפתרון y=0 מתאפס.

3. כמו שראינו בא', מ-2 נובע ש-y1-y2=0 בכל התחום מה שעומד בסתירה עם הנתון http://www.codecogs.com/gif.latex?y_1(3).

4. מכאן שההנחה שהנחנו לא נכונה - ההפרש בין הפתרונות y1,y2 לא יכול להחליף סימן אם הפונקציות שונות, כי אם הוא מחליף סימן זה גורר שהורונסקיאן של y1-y2 ו-y=0 מתאפס בנקודה מסויימת והפונקציות y1,y2 חייבות להיות זהות.

 

ג. ההוכחה מקבילה לחלוטין לב' עם שינויי הסימן המתאימים.

[Hela]

תודה רבה 

איך אני פותרת את המד"ר הזה?

מה שרציתי לעשות זה בהנחה שהפתרון הנתון הוא Y1 אני מוצאת את Y2 ואחר כך בודקת אם הורסקיאן לא שווה לאפס כי אם הוא לא שווה לאפס אז הוא בעצם פתרון שני של המד"ר הבעיה היא שאני נתקלת באינטגרל קשה לפתרון אז חשבתי שאולי אני צריכה לחשוב בכיוון אחר 

הנוסחא היא y2=y1*intefgral(W(x) / y1^2

w(X) = e^-intgral(px)

 

מה דעתך?

[אודי]

האינטגרל הזה פתיר בחלקים והוא לא נורא כ"כ, אבל לא נראה לי שזו הדרך שרוצים שתלכי בה.

גם אחרי שאת מוצאת את הפתרון השני הקומבינציה הליניארית של הפתרונות שמקיימת את התכונות המבוקשות לא טריוויאלית.

 

נראה לי שאת אמורה להשתמש בזהות אבל עבור הורונסקיאן:

http://www.codecogs.com/gif.latex?W(x)=W(1)e%5E%7B-%5Cintop_%7B1%7D%5E%7Bx%7Dp(x')dx'%7D=y_1y_2'-y_1'y_2

 

- את יכולה למצוא את  http://www.codecogs.com/gif.latex?W(1)=%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D  מהפתרון הידוע http://www.codecogs.com/gif.latex?y_1 וממה שנתון לך על הפתרון המבוקש;

- את יכולה לחשב את אגף ימין כפונקציה של הפתרון המבוקש http://www.codecogs.com/gif.latex?y_2 והנגזרת שלו http://www.codecogs.com/gif.latex?y_2' (להציב את הפתרון הידוע http://www.codecogs.com/gif.latex?y_1 והנגזרת שלו).

- תקבלי משוואה ליניארית מסדר ראשון לפתרון המבוקש http://www.codecogs.com/gif.latex?y_2 והיא צריכה להיות קלה יותר לפתרון. וזה יוביל אותך ישר לפתרון שאת צריכה.

- אל תשכחי את קבוע האינטגרציה (את מוצאת אותו באמצעות התנאי על הפתרון ב-x=1).

[Hela]

תודה אבל לא הבנתי איך מצאת את W(1) ... :\

[אודי]

מאגף ימין והנתונים. בנקודה x=1 אני יודע את כל מה שצריך כדי לחשב אותו.

[Hela]

יוצא לי -3/4 ...

[אודי]

.... יתוקן בהמשך

8-[

[Hela]

יוצא לי המד"ר הזה : 

 

3/4e^2x-2=1/x+1*y2' +1/(x+1)^2*y2-

 

ככה זה אמור להיות?

[אודי]

נראה לי שכן. לא תדעי עד שלא תפתרי, לא?

[Hela]

פתרתי וקיבלתי y2= -3/8(x+1) *e^{2x-2} +c/x+1

 

אבל אני בעצם ככה עניתי על סעיף ב' ולא על סעיף א' .. איך אני בעצם מוכיחה שאכן y1  הוא אחד מהפתרונות ?

[Hela]

אההה אני יכולה פשוט לגזור את הפתרון פעם ופעמיים ושלושה פעמים ופשוט להציב  8-[

[אודי]

פעמיים יספיקו

ואת צריכה להציב משהו במקום C, בעזרת התנאי y2(1)=0

[Hela]

אבל אין לי את התנאי שאתה מדבר עליו

[אודי]

למה? נתון לך שהפתרון המבוקש מקיים y2(1)=0

הציבי x=1 בפתרון שקבלת:

פתרתי וקיבלתי y2= -3/8(x+1) *e^{2x-2} +c/x+1

השווי את http://www.codecogs.com/gif.latex?y_2(1) שקבלת מהצבה לאפס וקבלי למה שווה C.

[Hela]

טוב הייתה טעות בפיתרון שלי תיקנתי ויצא לי 

 y2= -x^3/4(x+1) +c/x+1

 

עכשיו כאשר אני מציבה y(1)=0 אני מקבלת y2=-x^3/4(x+1)  +1/4(x+1) 

 

אבל זאת לא התשובה של וולפראם .. וולפראם אומר שהתשובה היא c2x^3/x+1  +c1/x+1 

אז זה אומר שיש טעות?

[אודי]

הפתרון שלך לא נכון. פתרתי את זה בעצמי עד הסוף ויש לי שלוש מסקנות:

- http://www.codecogs.com/gif.latex?W(1)=%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D ולא מינוס (בדקתי שוב את ההגדרה של הורונסקיאן ולקחנו http://www.codecogs.com/gif.latex?y_1(x)=%5Cfrac%7B1%7D%7Bx+1%7D)

- הפתרון המלא הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?y_2(x)=%5Cfrac%7B3%7D%7B16(x+1)%7D((2x%5E2+2x+1)e%5E%7B2x-2%7D-5)

- הפתרון הזה מקיים את שתי הדרישות (http://www.codecogs.com/gif.latex?y_2(1)=0,%5C,y_2'(1)=%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D)

[Hela]

אבל אנחנו לא צריכים קודם כול לנרמל את המד"ר ואחר כך להחליט מה p(X)? 

[אודי]

ואכן נרמלתי את המד"ר. והמקדם של y הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7Bx+1%7D. המד"ר היא

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?y'+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx+1%7Dy=%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D(x+1)e%5E%7B2x-2%7D

[Hela]

תודה רבה 

 

 

איך אני פותרת את השאלה הזאת ?

 

אני פשוט יודעת שכאשר יש לנו xe^x אז בעצם r=1 בריבוי לפחות 2 אבל כאן יש לנו xe^x+e^x שהוא y2 ו y3 הוא x-3*e^x0 השורש שלו הוא 0 מריבוי לפחות 2

 

אז מה עושים ? אני גם לא מבינה את השאלה עצמה ..

 

תודה 

[אודי]

השאלה הזו לא קשורה לריבוי (שממילא רלוונטי רק למשוואות עם מקדמים קבועים, לזכרוני), אלא לורונסיקיאן.

 

א. את מחשבת את הורונסיקאן של שלושת הפתרונות האלו ובודקת באיזו נקודה מבין הנקודות הנתונות הוא מתאפס. הנקודה הזו לא יכולה להיות חלק מהתחום D, כי פתרונות בלתי תלויים של משוואה דיפרנציאלית בתחום D נותנים ורונסיקאן שונה מאפס בתחום.

 

ב. לא ניסיתי, אבל אני חושד שאם תחשבי את הורונסיקאן ממשפט אבל (באינטגרל בין http://www.codecogs.com/gif.latex?x_0 ל-x) ותשווי לתוצאה שקבלת בסעיף א' מהפתרונות הבלתי תלויים תוכלי למצוא את הנקודה http://www.codecogs.com/gif.latex?x_0. 

[אודי]

אני מקבל:

א. http://www.codecogs.com/gif.latex?x=5

ב. http://www.codecogs.com/gif.latex?x_0=4.5 (כאשר צריך לעשות מניפולציות על משפט אבל כדי להגיע לתשובה, בין השאר לעשות ln ולגזור את האינטגרל על p לפי http://www.codecogs.com/gif.latex?x_0 באמצעות משפט לייבניץ).

[Hela]

תודה

 

מפתרון המד"ר v(x)= 5x+3sinx אני יכולה להסיק שיש לי כאן שני שורשים מרוכבים r=+-i וגם השורש 0 מריבוי  2 לפחות

 

ולכן כאן יש לי 4 שורשים

 

והפולינום האופייני הוא (r-i)(r+i)(r^2) שווה 0

ולכן a=0, b=1 , c=0,k=0

 

וכך רק ג' נכון..

 

אבל אני לא בטוחה כי מבקשים להפריך ולהוכיח טענות 

 

 

[אודי]

למצוא את המקדמים מהשיקולים שצייינת זו יופי של הוכחה/הפרכה.

[Hela]

תודה,

 

 למשל אם נניח אנחנו רוצים למצוא את השורשים של המשוואה בשאלה הזאת 

 

יש לי כאן שלוש פתרונות שאני יכולה להסיק מה השורשים כאן אבל כשאני עושה את זה אני מגלה שיש יותר מ3 וזה לא נכון כי יש לי כאן פולינום אופייני מחזקה 3 !

 

אני מסיקה כי יש לי את השורשים הבאים:

 

מהפתרון הראשון יש לי 1 מריבוי 2 לפחות

הפתרון שני 1 מריבוי 2 לפחות ו 1 מריבוי 1 לפחות 

הפתרון השלישי 0 מריבוי 2 לפחות ו 0 מריבוי 1 לפחות 

 

זאת אומרת שיש לי כאן 8 שורשים אבל זה לא הגיוני? או בעצם השיקולים שלי לא נכונים ... :(

 

 

 

[אודי]

השיקולים שלך לא נכונים כי זו לא משוואה עם מקדמים קבועים ולכן אין לך פולינום אופייני.

[Hela]

תוכל בבקשה להסביר לי את סעיף ב' בשאלה הזאת ? לא הבנתי כולכך מה עשית אתה השווית את הוורסקיאן ל5 בעצם??

[אודי]

לא.

 

1. השתמשתי בזהות אבל:

http://www.codecogs.com/gif.latex?W(x)=W(x_0)e%5E%7B-%5Cintop_%7Bx_0%7D%5E%7Bx%7Dp(x')dx'%7D

 

- את אגף שמאל (הורונסקיאן כפונקציה של x) מצאתי מסעיף א' -  http://www.codecogs.com/gif.latex?W(x)=e%5E%7B2x%7D(5-x)

- את http://www.codecogs.com/gif.latex?W(x_0) חשבתי מהצבת http://www.codecogs.com/gif.latex?x_0 בתוצאה מסעיף א'.

 

2. קבלתי את המשוואה הבאה:
 

http://www.codecogs.com/gif.latex?e%5E%7B2x%7D(5-x)=e%5E%7B2x_0%7D(5-x_0)e%5E%7B-%5Cintop_%7Bx_0%7D%5Ex%20p(x')dx'

 

   במשוואה הזו אני יכול לחלק ולהוציא ln כדי לבודד את האינטגרל:

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cintop_%7Bx%7D%5E%7Bx_0%7Dp(x')dx'=2(x-x_0)+%5Cln(5-x)-%5Cln(5-x_0)

 

3. עכשיו אני גוזר את השוויון לפי http://www.codecogs.com/gif.latex?x_0 בעזרת כלל לייבניץ ומקבל:

    http://www.codecogs.com/gif.latex?p(x_0)=0=-2+%5Cfrac%7B1%7D%7B5-x_0%7D

 

4. מכאן קל להגיע ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?x_0=4.5

[אודי]

3 (חלופי) - האמת שלא חייבים להסתבך עם כלל לייבניץ. קל לראות שהאינטגרל המדובר הוא, לפי הגדרה.

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cintop_%7Bx%7D%5E%7Bx_0%7Dp(x')dx'=2(x-x_0)+%5Cln(5-x)-%5Cln(5-x_0)=F(x_0)-F(x)

 

כאשר http://www.codecogs.com/gif.latex?F(x) היא הפונקציה הקדומה של http://www.codecogs.com/gif.latex?p(x).

מכאן ומהביטוי האמצעי אפשר למצוא ישירות את

http://www.codecogs.com/gif.latex?F(x)=-2x-%5Cln(5-x)

ולכן גם את

http://www.codecogs.com/gif.latex?p(x)=-2+%5Cfrac%7B1%7D%7B5-x%7D

 

סעיף 4 זהה.

[Hela]

תודה 

X0 מראה מתי P(X) מתאפס?

זאת אומרת ההגדרה של הוורסקיאן ללא קשר לשאלה 

[אודי]

כן, נתון http://www.codecogs.com/gif.latex?p(x_0)=0.

[Hela]

אבל בהגדרה של הוורונסקיאן X0 מראה מתי P(X) מתאפסת?

[אודי]

את מתכוונת לזהות אבל?

http://www.codecogs.com/gif.latex?W(x)=W(x_0)e%5E%7B-%5Cintop_%7Bx_0%7D%5E%7Bx%7Dp(x')dx'%7D

לא, זהות אבל נכונה לכל נקודה בתחום. הייתי יכול להחליף את http://www.codecogs.com/gif.latex?x_0 בזהות בכל נקודה אחרת.

בחרתי להשתמש ב-http://www.codecogs.com/gif.latex?x_0 כדי שהנקודה תופיע באינטגרל, כי ידעתי שאני רוצה לחלץ מהשוויון הזה את http://www.codecogs.com/gif.latex?p(x_0) (כי אני יודע למה הוא שווה).

בדיעבד, לא הייתי חייב לבחור ב-http://www.codecogs.com/gif.latex?x_0, הייתי יכול למצוא את http://www.codecogs.com/gif.latex?F(x) ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?p(x) מכל נקודה אחרת באותה מידה