חדו"א 2 - אני לא מצליחה להגיע לתשובה

[women]

אשמח אם משהוא יוכל לעזור

[women]

שאלה 8 :)

[אודי]

http://www.codecogs.com/gif.latex?v,_r=u,_x%20e%5Er%20%5Ccos%20t+u,_y%20e%5Er%20%5Csin%20t

 

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?v,_%7Brr%7D=u,_%7Bxx%7D%20e%5E%7B2r%7D%20%5Ccos%5E2t+u,_%7Bxy%7D%20e%5E%7B2r%7D%20%5Ccos%20t%20%5Csin%20t%20+u,_%7Byx%7D%20e%5E%7B2r%7D%20%5Csin%20t%20%5Ccos%20t%20+u,_%7Byy%7D%20e%5E%7B2r%7D%20%5Csin%5E2t+e%5Er(u,_x%20%5Ccos%20t+u,_y%20%5Csin%20t)

 

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?v,_t=-u,_x%20e%5Er%20%5Csin%20t+u,_y%20e%5Er%20%5Ccos%20t

 

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?v,_%7Btt%7D=u,_%7Bxx%7D%20e%5E%7B2r%7D%20%5Csin%5E2t-u,_%7Bxy%7D%20e%5E%7B2r%7D%20%5Ccos%20t%20%5Csin%20t%20-u,_%7Byx%7D%20e%5E%7B2r%7D%20%5Csin%20t%20%5Ccos%20t%20+u,_%7Byy%7D%20e%5E%7B2r%7D%20%5Ccos%5E2t-e%5Er(u,_x%20%5Ccos%20t%20+%20u,_y%20%5Csin%20t)

 

כשאת מחברת את שתי הנגזרות השניות את מקבלת שהנגזרות המעורבות והאברים הפרופורציונים לנגזרות הראשונות מבטלים זה את זה וסה"כ:

http://www.codecogs.com/gif.latex?v,_%7Brr%7D+v,_%7Btt%7D=u,_%7Bxx%7D%20e%5E%7B2r%7D(%20%5Csin%5E2t+%5Ccos%5E2t)+u,_%7Byy%7D%20e%5E%7B2r%7D(%5Ccos%5E2t+%5Csin%5E2t)=u,_%7Bxx%7D%20e%5E%7B2r%7D+u,_%7Byy%7D%20e%5E%7B2r%7D

או, מחלוקה באקספוננט:

http://www.codecogs.com/gif.latex?u,_%7Bxx%7D+u,_%7Byy%7D=e%5E%7B-2r%7D(v,_%7Brr%7D+v,_%7Btt%7D)

[women]

תודה רבה, תוכל להסביר לי את התהליך שעשית?

 

האם הכפלת במשוואה הראשונה את הנגזרת של u'x בכל הוקטור?

[women]

האם השתמשת בכלל השרשרת?

[אודי]

מצטער, הייתי צריך לצאת.

בכל מקרה, גזרתי את v לפי כלל השרשרת:

http://www.codecogs.com/gif.latex?v,_r=u,_xx,_r+u,_yy,_r

http://www.codecogs.com/gif.latex?v,_t=u,_xx,_t+u,_yy,_t

כאשר:

http://www.codecogs.com/gif.latex?x(r,t)=e%5Er%20%5Ccos%20t

http://www.codecogs.com/gif.latex?y(r,t)=%20e%5Er%20%5Csin%20t

 

גם בחישוב הנגזרות השניות http://www.codecogs.com/gif.latex?v,_%7Brr%7D,v,_%7Btt%7D השתמשתי בכלל השרשרת, רק ששם צריך לשים לב שבכל איבר שגוזרים מהנגזרת הראשונה יש נגזרת של מכפלה ולכן פרט לגזירה של הנגזרות הראשונות http://www.codecogs.com/gif.latex?u,_%7Bx%7D,u,_%7By%7D לפי כלל השרשרת יש גם אברים שמכילים גזירה של הפונקציות http://www.codecogs.com/gif.latex?e%5Er ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ccos%20t%5C%20%5C,%5Csin%20t כפול הנגזרות הראשונות (ומה שנשאר מהאיבר שאותו גוזרים).

[women]

ממש תודה, 

 

מה אתה חושב על השאלה הבאה?

 

האם למצוא נ"ח ולהציב את התוצאה שלהם בגרדיאנט?

[אודי]

הגרדיינט מורכב מנגזרות חלקיות וכן, את צריכה לחשב אותו פה, אבל יותר מזה - את צריכה למצוא את הכיוון שלו.

 

הנגזרת המכוונת בכיוון הגרדיינט תהיה מקסימלית כי מכפלה סקלרית של וקטור בוקטור יחידה מקסימלית כשוקטור היחידה בכיוון הוקטור שבו הוא מוכפל.

 

...כלומר, אחרי שמצאת את הגרדיינט את מנרמלת אותו ומשווה לוקטור http://www.codecogs.com/gif.latex?(%5Ccos%5Calpha,%5Csin%5Calpha).

וקטור היחידה שלך ווקטור היחידה בכיוון הגרדיינט זהים.

[אודי]

רגע, יש פה משהו מוזר. הנגזרות החלקיות בכלל לא מוגדרות היטב בנקודה הזו

הגרדיינט יוצא

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cnabla%20f=(%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D(%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D)%5E%7B2/3%7D,%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D(%5Cfrac%7Bx%7D%7By%7D)%5E%7B1/3%7D)

ואפשר לקבל ערכים גבוליים שונים כתלות במסלול שבו מתקרבים לראשית.

[women]

עבור כל אחד מערכי הגרדיאנט להתקרב פעם אחת למסלול בו x=0 ו-y=x ולהפך? האם זאת הכוונה?

[אודי]

אני חושב שמה שרוצים שתניחי הוא שהמסלול הרלוונטי לחישוב הגרדיינט הוא מסלול לאורך הכיוון של הנגזרת המכוונת, כלומר מסלול שמקיים http://www.codecogs.com/gif.latex?y=x%5Ctan%5Calpha

אז הגרדיינט קבוע לאורך המסלול הזה ומתקבל כ:

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cnabla%20f=(%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D(%5Ctan%20%5Calpha)%5E%7B2/3%7D,%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D(%5Ctan%20%5Calpha)%5E%7B-1/3%7D)

ומכיוון שהוא שווה לוקטור http://www.codecogs.com/gif.latex?R(%5Ccos%5Calpha,%5Csin%5Calpha), נובע

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ctan%20%5Calpha=%5Cfrac%7B%5Cnabla%20f_y%7D%7B%5Cnabla%20f_x%7D=%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Ctan%5Calpha%7D

או

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ctan%20%5Calpha%20=%20%5Csqrt%7B2%7D

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Calpha%20=%2054.73%5E%7B%5Ccirc%7D

[אודי]

אני לא מאוד בטוח בזה.

באופן כללי השאלה הזו נראית לי מפוקפקת, מכיוון שהערך של הגרדיינט בראשית תלוי בכיוון ממנו מתקרבים לנקודה ואת נאלצת להניח מסלול בעל אופי מסויים במקום לקבל ערך אחד של הגרדיינט וממנו להסיק את הכיוון. אבל אולי זה מה שרצו שתעשי

[women]

תודה אודי התשובה שלך נראית לי טובה

[אודי]

יש בה דילוג על כל מיני בורות לא ברורים, כמו למשל שבכיוונים מסויימים (מסלולים על הצירים, למשל) מתקבל שאחד הרכיבים של הגרדיינט מתבדר לאינסוף בכלל על המסלול ולא ברור מה הגבול של הגרדיינט בראשית.

:scratch:

טוב, אני עייף אז לא אתעמק במופלא ממני כרגע.