מד"ר עזרה..

[Hela]

שאלה 3: ב' אני הגעתי בא' למשפחה: xy^2-x^3/3-x=c

וב' 1 הגעתי ל xy^2-x^3/3=c

 

איך אני עושה את 2 אני חשבתי שאני צריכה קודם כול למצוא את c במשפחה הראשונה וc משפחה שנייה ואז בעצם אני מקבלת עקומים ומשמם אני מקבלת את הישר x=1 אני מציבה באחד מהמשפחות ומקבלת y^2-1/3=c והשנייה y^2-1/3-1=c

 

שאלה 4: אני לא מבינה איך לפתור?

 

שאלה5: אני רואה שהאינטגרל הנ"ל אינו פתיר .. חשבתי על מד"ר פרידה אבל אני לא יודעת איך לפתור ..

 

 

 

תודה

[אודי]

3. לא ברור לי על איזה סעיף את מדברת, כי הפתרון של סעיף א' לא קשור לזה של סעיף ב'. את מדברת על סעיף ב' (שמחולק לשני סעיפים, 1 ו-2)?

 

4. הפתרון הסטנדרטי למשפחה אורתוגנלית. גוזרים את המשוואה שמגדירה את המשפחה המקורית. מבודדים את y'. מתקבל:

http://www.codecogs.com/gif.latex?y'=%5Cfrac%7Bxy%7D%7B9-y%5E2%7D

מכאן נובע שהמשפחה האורתוגונלית צריכה לקיים:

http://www.codecogs.com/gif.latex?y'=%5Cfrac%7By%5E2-9%7D%7Bxy%7D

וזו משוואה פרידה סטנדרטית למדי שבין הפתרונות שלה יש מעגל אחד בלבד, שיוצא

http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E2+y%5E2=9

(השאר אליפסות או היפרבולות).

 

5. נראה לי שאת צריכה להשתמש במשפט קיום ויחידות. קל לראות שהפתרון הטריוויאלי y=0 מקיים את המשוואה בסביבות הנקודה הנתונה (4,0) ושהפונקצייה http://www.codecogs.com/gif.latex?g(x,y)=y' רציפה שם (וגם הנגזרת שלה לפי y רציפה). מכאן נובע ש-y=0 צ"ל הפתרון היחיד. תחום ההגדרה שלו מוגבל כמובן לאיזור שבו הסינוס במכנה לא מתאפס.

[אודי]

3. בכל אופן, לסעיף ב' אני לא מקבל את התשובה שקבלת. אני מקבל תשובה שנראית לי מפוקפקת מעט, אני מודה, אבל היא עובדת - המשפחה האורתוגונלית ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E2+y%5E2=Cy יוצאת פשוט http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E2+y%5E2=Dx. 

כשאת מציבה את ערכי הנקודה (1,2) בשתי המשפחות את מקבלת ש-D=5 ו-C=2.5; וכשאת גוזרת את שתי העקומות הספציפיות שקבלת ומבודדת את ערכי http://www.codecogs.com/gif.latex?y' בנקודה (לבדיקה) את מקבלת באמת ששני המעגלים האלו ניצבים בנקודה, כלומר מכפלת הנגזרות http://www.codecogs.com/gif.latex?y' היא 1-.

[Hela]

אבל ב 5 הם לא צריכים את תחום ההגדרה של y ? שזה שונה מתחום ההגדרה של המד"ר.. לא?

[אודי]

אני לא בטוח, אבל אני חושב שבמקרה הזה אין הבדל ביניהם.

מצאת את הפתרון באמצעות שימוש במשפט קיום ויחידות, והתנאים למשפט הזה מתקיימים רק בתחום מסויים.

אי אפשר לומר שהפתרון y=0 מקיים את המשוואה ברציפות מעבר לנקודות http://www.codecogs.com/gif.latex?x=%5Cpi או http://www.codecogs.com/gif.latex?x=2%5Cpi, כי המשוואה לא מוגדרת בנקודות האלו.

[Hela]

אז ב-5 אני בעצם אומרת כך:

 

y'+ln^2x/sin^2x *y= 0

 

f(x,y)= y'= -ln^2x/sin^2x *y

 

היא רציפה בתחום pi<x<2pi

הנגזרת שלה רציפה גם באותו תחום

 

y=0 פתרון סינגולרי בתחום pi<x<2pi בנק' 4,0 

 

ככה בעצם הפתרון?

[אודי]

כן, רק שלא הייתי משתמש בביטוי פתרון סינגולרי, כשמדברים על סינגולריות מתייחסים למשהו אחר. פתרון יחיד. שמוגדר בתחום שבו המשוואה מוגדרת.