אשמח לעזרה קטנה

[TheLady]

משהוא יודע איך בדיוק לפתור את התרגיל שצרפתי בקובץ?

[אודי]

איפה הוא? אני לא רואה אף קובץ מצורף

 :scratch:

[TheLady]

הינה... בטעות:)

[TheLady]

הנה הקובץ

[אודי]

1. יש לך את משוואת המישור:

http://www.codecogs.com/gif.latex?ax+by+cz+d=0

כאשר (a,b,c) הוא אנך למישור והוא וקטור יחידה.

 

2. מכיוון שהמישור ניצב לעקום בנקודה http://www.codecogs.com/gif.latex?t_0, הוקטור המשיק לעקום בנקודה הוא הוקטור הניצב למישור. שרטטי עקום שעובר דרך מישור כדי לשכנע את עצמך שזה נכון

:)

 

3. לכן, אם תחשבי את הנגזרת של העקום בנקודה http://www.codecogs.com/gif.latex?t_0 ותנרמלי אותה תקבלי את הוקטור (a,b,c):

http://www.codecogs.com/gif.latex?(a,b,c)=%5Cfrac%7B(x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0))%7D%7B%7C%7C(x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0))%7C%7C%7D

 

4. נשאר לך למצוא את המקדם החופשי d. אבל את יודעת שהמישור עובר בנקודה שמוגדרת ע"י הצבת http://www.codecogs.com/gif.latex?t_0 בעקום, ולכן אם תציבי את הנקודה http://www.codecogs.com/gif.latex?(x(t_0),y(t_0),z(t_0)) ממשוואת העקום במשוואת המישור תוכלי למצוא את d.

 

5. מצאת את d כפונקצייה של http://www.codecogs.com/gif.latex?t_0, אבל את יודעת מהנוסחא לחישוב מרחק של נקודה ממישור ש-d הוא בדיוק המרחק של המישור מהראשית, עד כדי סימן.

 

6. לכן מ-d=2 אפשר למצוא את http://www.codecogs.com/gif.latex?t_0 (בתיאוריה גם d=-2 הוא פתרון, אבל במקומך הייתי מהמר על התשובה הראשונה).

[אסף]

בשלב שבו פורסם התרגיל טרם למדנו על גרדיאנט, וגם מדובר פה על עקום ולא על משטח, פשוט כיוון הנורמל הוא הנגזרת רכיב רכיב, ואין צורך לנרמל.

[אודי]

צריך לנרמל אם אתה רוצה ש-d יהיה המרחק מהראשית. אחרת המרחק מהראשית הוא d חלקי הגודל של הוקטור (a,b,c).

[אסף]

נכון, פשוט כתבתי את משוואת המישור עם הוקטור שיצא לי והשתמשתי בנוסחה למציאת מרחק נקודה ממישור ובכך למעשה נירמלתי.

[אודי]

אז אתה רואה שכך או כך צריך לנרמל

[TheLady]

אני אשמח ללמוד על הגרדיאנט, אודי תוכל להסביר לי איך אני משתמשת בו לטובת התרגיל?

[אסף]

הגרדיאנט הוא וקטור שרכיביו הם הנגזרות החלקיות. בתרגיל פשוט גוזרים רכיב רכיב את העקום בנקודה והתוצאה היא וקטור משיק. כאמור ניתן לגזור עקום ללא הכרת המושג גרדיאנט, המושג משמש בעיקר לפונקציות מרובות משתנים והעקום הוא פונקציה במשתנה יחיד.

מקווה שלא טעיתי כי אני לא מרגיש בטוח בדברי.

 

עריכה: עכשיו ראיתי שאודי שינה את ניסוחו והחליף את הגרדיאנט בנגזרת העקום.

[TheLady]

מה שעשיתי ותקנו אותי אם אני טועה:

 

1. גזרתי את העקום בכדי למצוא את האנך למישור :  x'(t)=-2sin(t) =a    ,   y'(t)=2cos(t) =b   ,  z'(t)=4 =c

 

2. השתמשתי בנתונים אלו כמקדמי המישור a(X-x)+b(Y-y)+c(Y-y)+d=0

 

3. קבלתי מישור: 2xsin(t)+2ycos(t)+4z+(2xsin(t)-2ycos(t)-4z(t))            h-

 

4. לבסוף חלצתי את D באמצעות משוואת המרחק של מישור מנקודה sqrt(20)=xsin(t)-ycos(t)-2z(t)                               0

 

יש לי יותר מידי נתונים ואני לא מבינה איפה הטעות?

[אסף]

היית צריכה להציב במשוואת המישור גם את הנקודה לפי ההצגה הפרמטרית, ולא רק את הנורמל.

[TheLady]

לא הצבתי את הנורמל אלא נקודה כללית. במקדמים הצבתי את הנגזרת של ההצגה הפרמטרית, ובנקודה במישור הייתי צריכה להציב שוב את הנקודה לפי ההצגה הפרמטרית לפי דבריך? אוקי אני אנסה, תודה

[אסף]

חשוב שתביני, מקדמים במשוואת מישור=וקטור נורמל למישור, לא נקודה. זה שהצבת את הנגזרת של ההצגה הפרמטרית נובע מכך שבמקרה הספציפי הזה נתון כי שיפוע המשיק הוא בכיוון הנורמל למישור שכן המישור ניצב לעקום.

[TheLady]

אני מבינה וזה מה שעשיתי. אבל לא הבנתי איך מצאת את t?

[אסף]

אילו נעלמים יש לך במשוואת המרחק פרט לt?

[TheLady]

תודה הסתדרתי:)

[אודי]

אסף צדק. זה לא היה גראדיינט, אלא סתם נגזרת לפי t. לכן ערכתי.

כשלתי בניסוח.

[TheLady]

תודה בכל מקרה אודי :) אתה מלא כוונות טובות  :thumbsup:

[TheLady]

אודי שאלה קטנה נוספת, מצאתי 3 נקודות חיתוך לתרגיל הבא והצלחתי בדוגמא, אך לא הבנתי למה טעיתי במספר הנקודות?

[אסף]

על פי ערכי ווי יש רק ערך טי אחד שמקיים את שתי המשוואות.

[TheLady]

בעקום הראשון הצבתי t ובישר הצבתי s במקום ה-t ועשיתי השוואה ביניהם כשתי נקודות במרחב.

 

התקבלו שני ערכי t ושני ערכי s.

 

אבל הצלחתי ליצג בעזרתם רק 3 נקודות חיתוך

[אסף]

במקום להשוות נקודות עם שני משתנים, תעברי לשימוש במשתנה אחד על פי הערכים של ווי. יצא לי t+s=4, בודדתי את s, והצבתי בשאר הקואורדינטות של הישר, והשוויתי לקואורדינטות בעקום. הערך היחיד שמקיים את המשוואות הוא t=0. לא ככה?

[אודי]

לא לפי מה שאני מקבל... יש שני ערכי t שמקיימים את המשוואות ושתי נקודות חיתוך.

http://www.codecogs.com/gif.latex?(t,s)=(0,4);%20(1,6,-4)

http://www.codecogs.com/gif.latex?(t,s)=(-3,7);%20(10,-6,-1)

 

לא הבנתי מאיפה התקבלה נקודת החיתוך השלישית. למשוואה הריבועית שמתקבלת מהשוואת הערכים אחרי הצבת s יש רק שני פתרונות ל-t, וכ"א מהם נותן רק ערך אחד לנקודת החיתוך.

[TheLady]

אודי אתה צודק הייתה לי טעות הצבה :dance2: