מכניקה אנליטית שאלה

[Sweex]

האמת זה יותר לכיוון החדו"א 2 וזה משהו שאני קצת לא בטוח איך לפתור.

בסעיף 1 אני צריך למצוא ביטוי אינטגרלי לשטח הפנים.
עכשיו שטח הפנים כי שהבנתי הוא בעל צורה דומה לשל שעון חול (גם ממה שראיתי מסרטון שמדגים את שטח הפנים של בועת הסבון). 
יש לי פה צורה שהיא למעשה הרבה עיגולים דו מימדים שמורכבים בפרוסות לאורך Z מ- z0- עד ל- z0 .
יוצא שהרדיוס של כל עיגול תלוי באלמנט גובה dz אבל אני לא ממש מצליח לבטא את הרדיוס בתור פונקצייה של z.
אשמח לעזרה

[אודי]

בסעיף א' אתה לא אמור למצוא את http://www.codecogs.com/gif.latex?r(z). אתה אמור לרשום אינטגרל שהוא פונקציה של http://www.codecogs.com/gif.latex?r(z) לא ידוע (והנגזרת http://www.codecogs.com/gif.latex?r'(z)).

את הפונקציה המפורשת אתה מוצא מפתרון משוואות אוילר לגרנז'.

אם היית מוצא http://www.codecogs.com/gif.latex?r(z) בסעיף א' סעיף ב' היה מיותר...

 

עריכה: במבט חוזר על השאלה, אתה אפילו לא אמור למצוא את הפונקצייה, רק את משוואת אוילר לגרנז' שהיא מקיימת, שיוצאת מגעילה במיוחד (ובלי הנחות מפשטות אני לא יודע אם אפשר לפתור אותה אנליטית).

נערך בתאריך אוקטובר 27, 2013 - על-ידי אודי

[Sweex]

אז איך אני אמור לבטא את האינטגרל הפעולה של שטח הפנים ?
לא ממש מצליח להבין במקרה הזה.
זה אנאלוגי למקרה הדו מימדי שבו אני מבצע אינטגרל הפעולה הוא אינטגרציה לגבי ציר ה- X של y' +1 בשורש.
אז במקרה הזה יהיה לי אינטגרציה כפולה על טטה ו- Z? ואני מגדיר למעשה את הפעולה ככה?
Sqrt(dz^2+dr^2)ddd? 
כי אני דיי בטוח שחסר לי משהו.

[אודי]

זו לא התוצאה של אינטגרל משטחי מחדו"א 2.

אם המשטח מבוטא ע"י פונקציה:

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BS%7D=(r(z),%5Ctheta,z)

אז בקואורדינטות פולריות (כאשר מתחשבים ביעקוביאן):

http://www.codecogs.com/gif.latex?d%5Cvec%7BS%7D=%7Cd%5Cvec%7BS%7D,_z%20%5Ctimes%20d%5Cvec%7BS%7D,_%5Ctheta%7Cr%20d%5Ctheta%20dz

ולאחר חישוב הנגזרות והמכפלה הוקטורית מתקבל:

http://www.codecogs.com/gif.latex?d%5Cvec%7BS%7D=r%5Csqrt%7Br'%5E2+1%7Dd%5Ctheta%20dz

נערך בתאריך אוקטובר 27, 2013 - על-ידי אודי

[Sweex]

אני מצטער שאני מציק, אבל תוכל בבקשה גם להסביר את המעבר מהמכפלה הוקטורית לביטוי בשורש?
ז"א, הסבר לגבי למה אני מבצע את המכפלה כדי למצוא אלמנט של שטח הפנים.

[אודי]

לא עשית חדו"א 2?

 

המכפלה הוקטורית היא בעצם שטח של מקבילית אינפיטיסימלית על פני המשטח.

הצלעות של המקבילית, הנגזרות החלקיות http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BS%7D,_%5Ctheta ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BS%7D,_z מתאימות לכיוונים המשיקים לקווי הקואורדינטות של המשטח בנקודה שבה מחושב אלמנט השטח האינפיטיסימלי.

כ"א מהנגזרות מוכפלת באלמנט האינפיטיסימלי המתאים (http://www.codecogs.com/gif.latex?r%20d%5Ctheta ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?dz) כדי לתת את אורך הצלע המקבילית האינפיטיסימלית.

 

כשמחשבים את הנגזרות החלקיות של S כפי שהגדרתי אותו מקבלים (בקואורדינטות פולריות, כמובן):

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BS%7D,_z=(r',0,1)

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BS%7D,_%5Ctheta=(0,1,0)

 

והמכפלה הוקטורית נותנת:

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BS%7D,_z%20%5Ctimes%20%5Cvec%7BS%7D,_%5Ctheta=(-1,0,r')

 

הגודל של הוקטור הזה הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Csqrt%7B1+r'%5E2%7D.

[Sweex]

עשיתי וגם קיבלתי ציון טוב, אבל זה היה לפני שנה וחצי :)
קצת שכחתי את החומר ואין לי מחברת חדו"א 2.

תודה גדולה על העזרה!

[אודי]

תמיד תחזיק את מחברת חדו"א 2 קרוב אליך, היא תציל את החיים שלך יום אחד

[Sweex]

אני לא רוצה להציף את הפורום בשאלות אז אשאל את זה פה .

זה תרגיל מתרגול, ויכול להיות שאני טמבל אבל לא ממש הבנתי בו שני דברים:
1. למה מוצאים את המינימום של האנרגיה הפוטנציאלית ולא נגיד של הלגרנג'יאן?
2. למה קיים אילוץ שאורך החוט יהיה קבוע? מאינטואיציה אני יכול להבין למה זה נכון אבל כבר למדתי לא להסתמך על האינטואיציה שלי בפיסיקה.

אשמח מאוד לעזרה.

 

[אודי]

1. ממה מורכב הלגרנז'יאן במקרה הזה?

 

2. זו לא אינטואיציה. זה חוק שימור החבל.

:)

לא נתון בשאלה שהחבל עשוי מחומר גמיש וניתן למתיחה; לא נתון שהחוט נע במהירות קרובה למהירות האור ביחס לצופה; בקיצור, לא נתון שום דבר שעשוי לגרום לנו לחשוד בכך שהחבל שונה מחבלים שאתה מכיר ביום-יום.

[Sweex]

אה, איך יכולתי לשכוח את חוק שימור החוט!

אבל אני חושב שהבנתי למה משתמשים באנרגיה הפוטניאלית. אני רוצה לדעת את צורת החוט והדרך הכי טובה לעשות את זה להשתמש בצורה שיש לה את הפעולה המינימלית. אז אני מגדיר את אוך החוט כפעולה ומשם בעזרת E-L אפשר בסופו של דבר להגיע לצורה.